結合エントロピー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

結合エントロピー: Joint entropy)とは、情報理論における情報量の一種。結合エントロピーは、2つの確率変数の結合した系でのエントロピーを表す。確率変数 があるとき、結合エントロピーは と記される。他のエントロピーと同様、単位対数の底によってビット (bit)、ナット (nat)、ディット (dit) が使われる。

背景[編集]

確率変数 があるとき、そのエントロピー の値の不確かさを表す。 について、イベント が発生する確率が であるとき、 のエントロピーは次のようになる。

もう1つの確率変数 では、イベント が発生する確率が であるとする。 のエントロピーは で表される。

ここで、 が相互に関連したイベントを表しているとき、系全体のエントロピーは にはならない。例えば、1から8までの整数を1つ選ぶとし、それぞれの整数が選ばれる確率が同じとする。 は選んだ整数が奇数かどうかを表し、 は選んだ整数が素数かどうかを表すとする。1から8の整数のうち半分は偶数であり、同じく半分は素数である。したがって となる。しかし、選んだ整数が偶数であるとわかっている場合、それが素数である場合は4つのうち1つしかない。つまり、2つの確率変数の分布は関連している。従って系全体のエントロピーは2ビットよりも小さくなる。

定義[編集]

ここで、考えられる結果の「対」 を全て考慮する。

それぞれの対の発生確率を としたとき、結合エントロピーは次のようになる。

上記の例では、1を素数と見なしていない。従って、結合確率分布は次のようになる。

以上から、結合エントロピーは次のようになる。

bits

特性[編集]

部分エントロピーよりも大きい[編集]

結合エントロピーは、常に元の系のエントロピー以上となる。新たな系を追加しても不確かさが減ることはない。

この不等式が等式になるのは、 の(決定的)関数になっている場合だけである。

の(決定的)関数であるとき、以下も成り立つ。

劣加法性[編集]

2つの系をまとめて考えたとき、それぞれの系のエントロピーの総和より大きなエントロピーには決してならない。これは劣加法性 (subadditivity) の一例である。

この不等式が等式になるのは、確率論的独立性がある場合だけである。

限界[編集]

他のエントロピーと同様、常に が成り立つ。

他のエントロピー尺度との関係[編集]

結合エントロピーは、次のように条件付きエントロピーの定義に使われる。

また、次のように相互情報量の定義にも使われる。

参考文献[編集]

  • Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. pp. 613-614. ISBN 0-486-41147-8.