フィックの法則

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フィックの法則(フィックのほうそく、: Fick's laws of diffusion)とは、物質の拡散に関する基本法則である。気体液体固体金属)どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。

この法則は、1855年アドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。フィックは拡散現象を、熱伝導に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた[1]

フィックの第1法則[編集]

第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度時間に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。数式で表すと、

\boldsymbol{J} = -D\operatorname{grad}c

あるいは1次元なら、

J = -D\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}

となる。ここで、記号の意味は以下である:

  • J拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML-2T-1]で与えられる。
  • D拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[L2T-1]
  • c濃度で、次元は[ML-3]
  • x は位置で、次元は[L]

導出[編集]

フィックの第1法則導出模式図
任意の位置x における拡散流束J は濃度勾配に比例する

1次元で説明する。単位面積の断面を持つ、パイプ状の物体を想定する。そして、パイプ中の溶質には、長さ方向に濃度の差(濃度勾配)があるとする。つまり、濃い部分から薄い部分へと溶質が流れる。この時、単位時間当たりに拡散する溶質、つまり拡散流束をJ とし、パイプ中の任意の位置x での濃度をc とする。このとき、フィックの法則より流束J が濃度勾配に比例するから、次のようになる。

J \propto \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}

ここで、

\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} > 0

ならば溶質はx の負の方向に拡散する。これを考慮してマイナスの符号を入れて、さらに比例定数D を入れると、フィックの第1法則が導き出される。

フィックの第2法則[編集]

第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される:

\frac{\partial c}{\partial t} = -\operatorname{div}\boldsymbol{J} = D\nabla^2 c

これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、

\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}

記号は第1法則と同様である。

導出[編集]

フィックの第2法則導出模式図
位置と濃度の時間変化が、それぞれdx とdc である

第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。xx + dx にはさまれたdx の部分の濃度の時間的変化 ∂c/∂t を考え、任意の位置x での濃度をcx + dx での濃度をc + dc とする。 この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、

\frac{\partial c}{\partial t} = J(x) - J(x + \mathrm{d}x)   ・・・(1)

ここで第1法則より

J(x) = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right),
J(x+\mathrm{d}x) = J(x)+\frac{\partial J(x)}{\partial x} = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x - \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x

であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。

  • D が定数の場合は、
\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}
となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。
  • D が定数でない場合は、
\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c}{\partial x} \right) = \frac{\partial D}{\partial x}\frac{\partial c}{\partial x} + D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}
となる。D の関数形にもよるが、解くのは困難になる。

一般の場合[編集]

上記では拡散係数D等方的な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、D は2階のテンソル量となる[1]

拡散係数[編集]

具体的な物質における拡散係数の例[2][3]
物質1 物質2 拡散係数(m2/s) 備考
O2 N2 1.74×10−5 0°C
CO2 1.70×10−9 20°C
水銀 Cd 1.53×10−9 20°C
エタノール 1.13×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.05
エタノール 0.90×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.5
エタノール 2.20×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.95
ショ糖 5.22×10−10 27°C、1気圧

アインシュタイン・ストークスの式[編集]

ガス分子などの分子拡散の場合、拡散現象はブラウン運動による説明ができ、拡散係数D は次式で与えられる[4]。この式をアインシュタイン・ストークスの式(Stokes-Einstein equation)という[3]

D = kTB = \frac{kT}{6\pi\mu a}

無次元数[編集]

流体力学でよく用いられる無次元数のなかで、物質の拡散に関係するものには以下がある:

参考文献[編集]

  1. ^ a b 小岩昌宏; 中嶋英雄 『材料における拡散』 内田老鶴圃、2009年、1頁。ISBN 978-4-7536-5637 
  2. ^ 谷口尚司; 八木順一郎 『材料工学のための移動現象論』 東北大学出版会、2001年、9頁。ISBN 4-925085-44-1 
  3. ^ a b 林茂雄 『移動現象論入門』 東洋書店、2007年、262, 280頁。ISBN 978-4-88595-691-1 
  4. ^ 高橋幹二、日本エアロゾル学会編、 『エアロゾル学の基礎』 森北出版、2003年、46頁。ISBN 4-627-67251-9 

関連項目[編集]