無次元数

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無次元数(むじげんすう、英語: dimensionless number)は、次元を持たないのことである。無次元量(むじげんりょう、英語: dimensionless quantity)とも呼ばれ、無名数(むめいすう、英語: bare number)、次元1の量英語: quantity of dimension one)と呼ぶこともある[1]

無次元数は、数学物理学工学経済など多くの分野で広く使用されている。反対に、メートルメートル毎秒などの物理単位で測定される長さ時間速度などは「次元を有する量」である。

無次元数は単位系に依らない量であるので、一般化されたある現象の特徴的なパラメーターとして用いられる。このようなパラメーターは、現実には物質に依存したり必ずしも操作可能な量ではないが、理論や数値実験においては操作的な量として取り扱うこともある。

歴史[編集]

次元 1 を有する量は習慣的に無次元量と呼ばれ、科学において時々現れ、次元解析の分野において形式的に扱われる。19世紀、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエスコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、近代的な次元単位の概念を発展させた。後のイギリスの物理学者オズボーン・レイノルズレイリー卿の研究は、物理学における無次元数の理解に貢献した。エドガー・バッキンガム英語版は、レイリーの次元分析の手法を基に、これらの量の性質を正式化するバッキンガムのπ定理を証明した(これは、フランスの数学者ヨセフ・ベルトラン英語版の以前の研究とは独立している)。多くの他の無次元数(主として比率)は、1900年代初期、特に流体力学熱伝導の分野で作られた。 組立単位 dB(デシベル)で比率を計測することは、今日、広く普及している。2000年代初頭、国際度量衡委員会は、無次元量の単位を「ウノ」(uno)と命名することについて議論したが、却下された[2][3][4]

純粋な数[編集]

1i,、πeφ[5]など、全ての純粋な数は無次元量である。

ダースグロスグーゴルなどの数の単位、また、日本語において個数などを数えるのに使われる数助詞(個・人・回など)も無次元量である。アボガドロ数も無次元量であるが、アボガドロ定数は mol−1 の次元を持つため無次元量ではない。

比率[編集]

無次元量は、無次元ではないが次元が数学的演算により相殺する量のとしても得られる[6]。例えば、傾き単位の換算の係数などである。より複雑な例として、ひずみがある。これは、長さの変化を初期の長さで割ったものとして定義される物理的な変形の尺度である。どちらの量も「長さ」の次元を持つので、その比は無次元となる。

他の例として、濃度(質量濃度、体積濃度、モル分率など)がある。これは、% (= 0.01)、 (= 0.001)、ppm (= 10−6)、ppb (= 10−9)、ppt (= 10−12)などのParts-per表記や、2つの同じ単位の比率(kg/kg、mol/molなど)で表される。例えば、アルコール飲料中のエタノールの濃度は体積を基準として mL/100mL として表現できる。

角度の単位は無次元量である。弧度法による単位(ラジアン)は円周上の長さと半径との比率であり、度数法による単位(グラードなど)は円周上の長さと円周との比率に定数をかけたものである。

統計では、変動係数平均に対する標準偏差の比であり、データのばらつきを表現するために使用される。

他に以下のような例がある。

無次元数の具体例[編集]

無次元数は、分野や理論ごとに多くの種類がある。それは、現象を記述する理論ごとに無次元数を見つけることができ、また無次元数の作り方には自由度があるためである。 以下にはよく知られているであろう無次元数を挙げる。

偏差値[編集]

平均値標準偏差規格化し、ある数値が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表したものを偏差値という。

力学[編集]

流体力学[編集]

  • レイノルズ数
    • 流体力学の分野で用いられるレイノルズ数は、 代表長さ [長さの次元]、代表速度 [速さ = 長さ / 時間の次元]、動粘性係数 [長さ2 / 時間の次元] の値を用いて求められ、流れ場の状態(運動量輸送における移流拡散の比)を表す無次元数となる。形は同じで大きさが異なる物体回りの流れを比較する際、両者のレイノルズ数が同じであれば、物体回りの流体の流れは相似となりサイズは異なっても本質的には同じ現象と考えることができる。特に乱流を扱う際は必須のパラメーターである。
  • 熱輸送
  • 浮力、重力
  • その他

材料工学[編集]

電磁気学[編集]

素粒子物理学[編集]

光学[編集]

通信工学[編集]

化学[編集]

気象学[編集]

単位の記述[編集]

無次元数には基本的に単位を付与しないが[7]レベルのような、対数を用いて定義される量には特別の単位を与えることがある。

  • デシベル:基準量との比の常用対数(底を 10 とする)。
  • ネーパ:基準量との比の自然対数(底をネイピア数 e ≈ 2.718281828459045... とする)。

脚注[編集]

  1. ^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity”. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO (2008年). 2011年3月22日閲覧。
  2. ^ BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting” (17–18 April 2003). 2006年11月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年1月22日閲覧。
  3. ^ BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting”. 2006年11月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年1月22日閲覧。
  4. ^ Dybkaer, René (2004). “An ontology on property for physical, chemical, and biological systems”. APMIS Suppl. (117): 1–210. PMID 15588029. http://www.iupac.org/publications/ci/2005/2703/bw1_dybkaer.html. 
  5. ^ https://www.youtube.com/watch?v=Ym5u5IlYWcg
  6. ^ http://web.mit.edu/6.055/old/S2008/notes/apr02a.pdf
  7. ^ 無次元であることを明記したい場合に [1] などと書く場合もある。

関連項目[編集]