ポアソン比

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ポアソン比(ポアソンひ、英語:Poisson's ratio)とは、弾性限界内における物体に単軸応力を加えた時の単軸応力方向に沿ったひずみと、二次的に発生する単軸応力に直角方向のひずみの比のことである[1]ヤング率などと同じく弾性限界内で材料固有の定数と見なされる。

定義[編集]

ある物体にz軸方向に単軸応力(一方向のみに働く応力)が働くとき、物体の弾性に基づきz軸方向の寸法が伸び、縦ひずみεzが発生する。このとき付随的に、z軸方向に直角方向の横ひずみεxとεyが発生する。この横ひずみを縦ひずみで除して-1を掛けたものがポアソン比νである。

 \nu_x = -\frac{\epsilon_x}{\epsilon_z} \quad,\quad \nu_y = -\frac{\epsilon_y}{\epsilon_z}

方向によらずポアソン比一定の材料の場合は、単にνとも表す。

 \nu_x = \nu_y = \nu

ポアソン比の逆数をポアソン数といい、mで表される[1]

 m = \frac{1}{\nu}

ポアソン比の範囲[編集]

材料が等方性の場合、単位体積当たりのひずみエネルギーであるひずみエネルギ関数U0は以下のように示される[2]

 U_0 = \frac{E\nu}{2(1+\nu)(1-2\nu)}(\epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z)^2+G\left\{(\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2)+\frac{1}{2}(\gamma_{xy}^2+\gamma_{yz}^2+\gamma_{zx}^2)\right\}

ここで、E:ヤング率、G:剛性率、ε:垂直ひずみ、γ:せん断ひずみである。

ひずみエネルギ関数は正値形式を取るので、U_0 \ge 0 を満たすにはポアソン比νの取り得る範囲は以下のように決まる[2]

 -1 < \nu < 1/2

下限の-1は形状一定(縦ひずみ=横ひずみ:つまり荷重方向に直角な方向にも伸びが生じ,立方体の形状が保たれるような変化を表す)を意味し、また上限の1/2は下記のように微小ひずみの範囲では体積一定を意味する。

変形による体積変化を考察する。縦方向に引張・圧縮の単軸荷重を受けるとき、縦方向方向の寸法変化は(1+ε)倍となる。一方、横方向の寸法は(1-νε)倍となり、断面積変化は(1-νε)2倍となる。よって体積変化は(1+ε)(1-νε)2=(1-2νε+ε-2νε22ε22ε3)倍となる。ひずみεが微小範囲とすれば、εの高次の項を無視できるので、体積変化は(1-2νε+ε)倍となる。このとき、νが1/2であれば、体積変化は1倍となり体積変化無し・体積一定となる[3]

上記のように理想的な条件ではポアソン比は負の値を取り得るが、実際の物質で負の値を示すものはごく稀にしか存在しない。負のポアソン比を示す数少ない例としてクリストバライトSiO2からなる結晶)がある。また、ハニカム型の特殊な構造や、泡構造というような複合的な人工構造には負のポアソン比を示すものがある[4]

弾性率の相関関係[編集]

等方均質弾性体では、ヤング率ポアソン比体積弾性率剛性率ラメの第一定数の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。

主な物質のポアソン比[編集]

注:以下に載せる値は目安であり、必ずしも保証されるものではない。

主な物質のポアソン比
材料 ポアソン比(ν)
ゴム 0.46〜0.49[5]
タングステン 0.28[6]
アルミニウム 0.345[5]
モリブデン 0.31[7]
ガラス 0.27[5]
0.343[5]
鋳鉄 0.27[5]
0.28〜0.30[5]
0.44[5]
0.44[5]
タンタル 0.35[8]
ニオブ 0.35[9]
クロム 0.21[10]
砂岩 0.14 - 0.33[11]
安山岩 0.07 - 0.22[11]
結晶片岩 0.08 - 0.20[11]
石灰岩 0.19 - 0.27[11]
大理石 0.25 - 0.38[11]
花崗岩 0.25 - 0.38[11]
コルク ほぼ0[3]

脚注[編集]

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参考文献[編集]

  • 『機械工学辞典』 日本機械学会、丸善、2007年1月20日、第2版。ISBN 978-4-88898-083-8
  • 小出昭一郎 『物理学』 裳華房、2003年、第3版。ISBN 4-7853-2074-5
  • 村上敬宜 『弾性力学』 養賢堂、2004年3月30日、第14版。ISBN 978-4842501215
  • 小西一郎、横尾義貫、成岡昌夫、丹羽義次 『構造力学 第I巻』 丸善、1986年1月20日、第2版。ISBN 4-621-02533-3