弾性率

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弾性率(だんせいりつ、英語: elastic modulus)は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力ひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数あるいは弾性定数とも呼ばれる[1]

1807年にトマス・ヤングによって導入された[2]

概要[編集]

弾性率は弾性変形における応力ひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)として定義される。ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、SIにおける単位はパスカル(記号: Pa)、ニュートン平方メートル(記号: N/m2)が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数や単に弾性コンプライアンスという。単位は1/Pa、m2/N。

弾性率の種類としては以下のようなものがある。

  • E :引張力、圧縮力などの単軸応力に対する変形の場合のヤング率(縦弾性係数)
  • Gせん断力に対する変形の場合の剛性率(ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数)
  • K静水圧(直角3方向の力)に対する変形の場合の体積弾性率
  • λ:ラメの第一定数(ラメの弾性係数)

この他に、無次元数のポアソン比も存在する。

テンソル量としての弾性率[編集]

2階のテンソル量である応力σとひずみεに対して、弾性率Dは4階のテンソル量で表すことができる[3]

\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon},
\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)[4]

弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換においてσ=Dεの関係を保たねばならない。座標系O-x1x2x3からO-x '1x '2x '3へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は

D'_{ijmn}=D_{pqrs} l_{ip} l_{jq} l_{mr} l_{ns}

と変換される[5]。ここでlipは、xi軸とx'p軸の方向余弦である。

弾性率テンソルは81(= 34)個の成分を持つが、応力テンソルσとひずみテンソルεは対称性、すなわち

\sigma_{ij}=\sigma_{ji},\quad \epsilon_{ij}=\epsilon_{ji}

によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソルD

D_{ijkl}=D_{jilk}

の性質を持ち、独立な成分は36(= 62)個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー

dW\equiv \sigma_{ij}\,d\epsilon_{ij}

を用いて弾性率が

D_{ijkl}=\frac{\partial^2 W}{\partial\epsilon_{ij} \partial\epsilon_{kl}}

と表せることから

D_{ijkl}=D_{klij}

が成り立つため、最終的に弾性率テンソルDの独立な成分は21(= 6×(6+1)/2)個となる[5]

等方均質材料の弾性率の相関関係[編集]

材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソルD の独立な成分は2個まで絞られる[3]。この場合、ヤング率E 、ポアソン比ν、体積弾性率K 、剛性率G 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。

ここで、\alpha=\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}とする。
等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
Eヤング率 \nuポアソン比 K体積弾性率 G剛性率 \lambdaラメの第一定数
E, \nu E \nu \dfrac{E}{3(1-2\nu)} \dfrac{E}{2(1+\nu)} \dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}
E, K E \dfrac{3K-E}{6K} K \dfrac{3K E}{9K-E} \dfrac{3K(3K-E)}{9K-E}
E, G E \dfrac{E-2G}{2G} \dfrac{G E}{3(3G-E)} G \dfrac{G(E-2G)}{3G-E}
E, \lambda E \dfrac{2\lambda}{E+\lambda+\alpha} \dfrac{E+3\lambda+\alpha}{6} \dfrac{E-3\lambda+\alpha}{4} \lambda
\nu, K 3K(1-2\nu) \nu K \dfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} \dfrac{3K\nu}{1+\nu}
\nu, G 2G(1+\nu) \nu \dfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} G \dfrac{2G\nu}{1-2\nu}
\nu, \lambda \dfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} \nu \dfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} \dfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} \lambda
K, G \dfrac{9KG}{3K+G} \dfrac{3K-2G}{6K+2G} K G K-\frac{2}{3}G
K, \lambda \dfrac{9(K-\lambda)}{3K-\lambda} \dfrac{\lambda}{3K-\lambda} K \frac{3}{2}(K-\lambda) \lambda
G, \lambda \dfrac{G(3\lambda+2G)}{\lambda+G} \dfrac{\lambda}{2\lambda+2G} \dfrac{3\lambda+2G}{3} G \lambda

複素弾性率[編集]

粘弾性体に対しては、弾性率は複素数で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。

脚注[編集]

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  1. ^ 『機械工学辞典』 日本機械学会、丸善、2007年、第2版、816頁。ISBN 978-4-88898-083-8
  2. ^ 小林英男; 轟章 『固体の弾塑性力学』 数理工学社、2007年、14頁。ISBN 978-4-901683-51-7 
  3. ^ a b 吉川弘道. “構成方程式の基本知識―考え方と定式化― (PDF)”. 2013年8月4日閲覧。
  4. ^ 総和規約を用いており、総和記号が省略されていることに注意。
  5. ^ a b 中曽根祐司編 『異方性材料の弾性論』 コロナ社、2014年、80-83頁。ISBN 978-4-339-04633-5 

関連項目[編集]