拡散数

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拡散数(かくさんすう、: diffusion number)とは、陽解法を用いた拡散方程式数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数d は次式で定義される。

ここで

  • k拡散係数
  • Δt :解析における時間間隔
  • Δx :空間方向の間隔

である。

導出[編集]

1次元の拡散方程式

ここで

  • t :時間
  • x :空間座標

を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。

この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量uin +1

と表すことができる。

拡散数による安定性の評価[編集]

拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性フォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには

である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。

つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]