偏差値

正規分布における偏差値の分布。T scoresが偏差値を示す。

偏差値（へんさち、英: T-score）とは、データの値が、平均50、標準偏差10のデータに変換（正規化）したときに示す値のことである。無次元数である。

概要

偏差値とは、データを一律に標準偏差（スケール）10、平均50に変換したときの値のことである。異なるデータでの偏差値の比較は、データが正規分布に近いことを前提としている。したがって、データが正規分布に大きく従わない場合は、偏差値は必ずしも適切な指標とはいえない。

正規分布であるデータにおいて、平均50からの±10区間（40～60）は全体の約68.3%、±20区間（30～70）は約95.4%、±30区間（20～80）は約99.73%、±40区間（10～90）は約99.9937%、±50区間（0～100）は約99.999953%である。

• 偏差値60以上（あるいは40以下）は、上位（下位）15.866%。
• 偏差値70以上（あるいは30以下）は、上位（下位）2.275%。
• 偏差値80以上（あるいは20以下）は、上位（下位）0.13499%。
• 偏差値90以上（あるいは10以下）は、上位（下位）0.00315%。
• 偏差値100以上（あるいは0以下）は、上位（下位）0.00002%。

例えば、全受験者数が100万人の学力試験の場合、偏差値80以上の者は、ほぼ1350人となる。（日本の実際の統計では、10代における同じ年齢の人口はおおよそ110〜120万人程度。40代は180〜200万人程度）

偏差値は全ての実数を取りうるが、偏差値が±50区間（0～100）を外れる割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。

偏差値は前述のとおり、平均を50、標準偏差を10とした値の事であり、優劣の判断は元の数字の特性に依存する。学力テストなど高い得点ほど良い場合は偏差値が高いほど良いとされる。また、ゴルフのスコアのように低い得点ほど良い場合は、偏差値も低い方が良いとされる。射的など目標にどれだけ近いかとする場合は中心である50が最も良いとされ、それから離れるほど悪い結果とされる。

数式による表記

データの値 x_i に対する偏差値 T_i は次の式で定義される。

$T_{i}={\frac {10(x_{i}-\mu _{x})}{\sigma _{x}}}+50$

ここで、

${\begin{aligned}&\mu _{x}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\\&\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\mu _{x}}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

N：データの大きさ、x_i：データの各値、μ_x：平均値、σ_x：標準偏差

なお、分子 x_i − μ_x は偏差である。特に、値 x_i が平均値 μ_x に等しいときは、偏差が 0 となり、偏差値は 50 となる。また、値 x_i が全て等しいときは、標準偏差 σ_x = 0 となり、偏差値がこの式では定義できない。この場合、値の偏差値を全て 50 とする。

応用例

• 学力検査の結果を表す学力偏差値は、入学試験の合格率の判定などに広く使われている。
• 製造業の品質管理の結果として偏差値が使われる。この場合で仕様に上限及び下限がある場合50が最も良い状態とされ、それより数値が離れているものはより不良品と判断される。
• 知能検査の結果を表す知能偏差値は、教育などに役立てるために、知能指数などとともに使われている。
• 何らかの格付け表が作成される場合、比喩的に偏差値が用いられることがしばしばある。

関連項目

• 統計学
• 標準得点
• 標準偏差 - 正規分布
• 学力偏差値
• 顔面偏差値