偏差値

正規分布における偏差値の分布。T scoresが偏差値を示す。

偏差値（へんさち、英: T-score）とは、データの値が、平均50、標準偏差10のデータに変換（標準化）したときに示す値のことである。無次元数である。偏差値50で平均（上位&下位50%）であり、偏差値55（あるいは45）で上位（下位）30.85%、偏差値60（あるいは40）で上位（下位）15.87%、偏差値65（あるいは35）で上位（下位）6.68%、偏差値70（あるいは30）で上位（下位）2.28％、偏差値75（あるいは25）で上位（下位）0.62%、偏差値80（あるいは20）で上位（下位）0.13%である^[1]^[2]。

ある試験の受験者全体の中で相対的にいる位置を知るために用いる学力偏差値において、25（下位0.62%）前後から偏75（上位0.62%）の範囲に全受験者の偏差値が基本的には収まる^[3]。しかし、極端な試験結果だった場合のみ、100以上やマイナスの偏差値になるケース^[4]も存在する^[3]。

概要[編集]

偏差値とは、データを一律に標準偏差（スケール）10、平均50に変換したときの値のことである。異なるデータでの偏差値の比較は、データが正規分布に近いことを前提としている。したがって、データが正規分布に大きく従わない場合は、偏差値は必ずしも適切な指標とはいえない（全ての値が同一の場合、後述の一般式では導き出せない）。

正規分布であるデータにおいて、平均50からの±10区間（40～60）は全体の約68.3%、±20区間（30～70）は約95.4%、±30区間（20～80）は約99.73%、±40区間（10～90）は約99.9937%、±50区間（0～100）は約99.999953%である^[5]。

偏差値60以上（あるいは40以下）は、上位（下位）15.866%。
偏差値70以上（あるいは30以下）は、上位（下位）2.275%。
偏差値80以上（あるいは20以下）は、上位（下位）0.13499%。
偏差値90以上（あるいは10以下）は、上位（下位）0.00315%。
偏差値100以上（あるいは0以下）は、上位（下位）0.00002%。

例えば、全受験者数が100万人の学力試験の場合、偏差値80以上の者は、ほぼ1350人となる。（日本の実際の統計では、10代における同じ年齢の人口はおおよそ110〜120万人程度。40代は180〜200万人程度）

偏差値は全ての実数を取りうるが、偏差値が±50区間（0～100）を外れる割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。

偏差値は前述のとおり、平均を50、標準偏差を10とした値の事であり、優劣の判断は元の数字の特性に依存する。学力テストなど高い得点ほど良い場合は偏差値が高いほど良いとされる。また、ゴルフのスコアのように低い得点ほど良い場合は、偏差値も低い方が良いとされる。射的など目標にどれだけ近いかとする場合は中心である50が最も良いとされ、それから離れるほど悪い結果とされる。

数式による表記[編集]

データの値 $x i$ に対する偏差値 $T i$ は次の式で定義される。

T_{i}={\frac {10(x_{i}-\mu _{x})}{\sigma _{x}}}+50

ここで、

{\begin{aligned}&\mu _{x}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\\&\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\mu _{x}}^{2}}}}\\\end{aligned}}

N

：データの大きさ、

x i

：データの各値、

μ x

：平均値、

σ x

：標準偏差

なお、分子 $x i - μ x$ は偏差である。特に、値 $x i$ が平均値 $μ x$ に等しいときは、偏差が $0$ となり、偏差値は $50$ となる。また、値 $x i$ が全て等しいときは、標準偏差 $σ x = 0$ となり、偏差値がこの式では定義できない。この場合、値の偏差値を全て $50$ とする。

用例[編集]

正しい用例[編集]

学力検査の結果を表す学力偏差値は、入学試験の合格率の判定などに広く使われている。
製造業の品質管理の結果として偏差値が使われる。この場合で仕様に上限および下限がある場合50が最も良い状態とされ、それより数値が離れているものはより不良品と判断される。
知能検査の結果を表す知能偏差値は、教育などに役立てるために、知能指数などとともに使われている。

比喩、例え、俗語、スラングによる使用例[編集]

何らかの「格付け」として、比喩的に「○○偏差値」という言葉や概念が用いられることがある（恋愛偏差値、顔面偏差値、就職偏差値など）。

脚注[編集]

[脚注の使い方]

^ “偏差値とは何？偏差値の意味と求め方・計算方法をわかりやすく解説！｜栄光の個別ビザビ｜個別指導の塾・学習塾なら” (日本語). www.eikoh-vis-a-vis.com. 2022年5月25日閲覧。
^ “高校の情報を集めよう！（偏差値って何？）｜高校受験の基礎知識「高校情報ステーション」”. www.school-data.com. 2022年5月25日閲覧。
^ ^a ^b “偏差値とは何？偏差値の意味と求め方・計算方法をわかりやすく解説！｜栄光の個別ビザビ｜個別指導の塾・学習塾なら” (日本語). www.eikoh-vis-a-vis.com. 2022年7月1日閲覧。
^ 100人が受けたテストで、0点99人で1人だけ100点だった場合は、0点99人の偏差値は-49・100点1人は偏差値149.5となる。
^ 大國亨オプション理論