偏差値

正規分布における偏差値の分布。T scoresが偏差値を示す。

偏差値（へんさち、英: standard score）とは、データの値が、平均50、標準偏差10のデータに変換（正規化）したときに示す値のことである。無次元数である。

概要

偏差値とは、データの標準偏差（スケール）を一律10にし、平均50からどれだけ離れているかを示す指標である。偏差値は、データの分布が正規分布に近いことを前提としている。したがって、分布が正規分布から大きく外れる場合は、偏差値は必ずしも適切な指標とはいえない。

正規分布であるデータにおいて、平均50からの±10区間（40～60）は全体の約68.3%、±20区間（30～70）は約95.4%、±30区間（20～80）は約99.73%、±40区間（10～90）は約99.9937%、±50区間（0～100）は約99.999953%である。

• 偏差値60以上（あるいは40以下）は、上位（下位）15.866%。
• 偏差値70以上（あるいは30以下）は、上位（下位）2.275%。
• 偏差値80以上（あるいは20以下）は、上位（下位）0.13499%。
• 偏差値90以上（あるいは10以下）は、上位（下位）0.00315%。
• 偏差値100以上（あるいは0以下）は、上位（下位）0.00002%。

例えば、全受験者数が100万人の学力試験の場合、偏差値80以上の者は、ほぼ1350人となる。（日本の実際の統計では、10代における同じ年齢の人口はおおよそ110〜120万人程度。40代は180〜200万人程度）

偏差値は全ての実数を取りうるが、偏差値が±50区間（0～100）を外れる割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。

数式による表記

データの値 x_i に対する偏差値 T_i は次の式で定義される。

$T_{i}={\frac {10(x_{i}-\mu _{x})}{\sigma _{x}}}+50$

ここで、

${\begin{aligned}&\mu _{x}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\\&\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\mu _{x}}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

N： データの大きさ、　x_i： データの各値、　μ_x： 平均値、　σ_x： 標準偏差

なお、分子 x_i − μ_x は偏差である。データの値 x_i が平均値 μ_x に等しいときは、偏差が 0 となり、偏差値は 50 となる。また、データの全ての値 x_i が等しいときは、標準偏差 σ_x = 0 となり、偏差値がこの式では定義できない。この場合、データの全ての偏差値を 50 とする。

応用例

• 学力検査の結果を表す学力偏差値は、入学試験の合格率の判定などに広く使われている。
• 知能検査の結果を表す知能偏差値は、教育などに役立てるために、知能指数などとともに使われている。
• 何らかの格付け表が作成される場合、比喩的に偏差値が用いられることがしばしばある。

関連項目

• 統計学
• 標準得点
• 標準偏差 - 正規分布
• 学力偏差値
• 顔面偏差値