分位数

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分位数(ぶんいすう)、分位点(ぶんいてん)、分位値(ぶんいち)、クォンタイル (quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を に分割する値である。

ある種の正の整数 に対し、分布を 等分する 個の値、つまり、 に対する 分位数を、m 分位数(ただし 漢数字)という。 番目の m 分位数をi m 分位数といい、また、 等分された分布の 番目の部分を、k m 分位、または単にk 分位という。

定義[編集]

変量統計における分位数[編集]

個のデータ に対する q 分位数 は、昇順にソートしたデータを とすると、

と定義される。ここで、床関数天井関数自然数の集合である。

関数 は、数列 の線形補間による実数関数への拡張である。関数 の引数 は、範囲 内分している。

確率分布の分位数[編集]

1次元確率分布 に対する q 分位数 は、

を満たす値として定義される。この式は、累積密度関数 または確率 を使って、

または

とも表せる。

日本工業規格における分位点[編集]

日本工業規格では、分位点を、「p分位点とは,分布関数が p に一致するか,又は p より小さな値から p より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率 p を 100p%で表すときは 100pパーセント点 (100p percentile) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値 p となる場合は,その区間内の任意の値が p 分位点とされる。ただし,0≦p≦1である。 2.p=21に対応する確率変数の値をメディアン,中央値 (median) という。3.p=41および p=43に対応する確率変数の値を四分位点 (quartile) という。」と定義している[1]

特別な分位数[編集]

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

中央値[編集]

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

四分位数[編集]

分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数(第1四分位数)を下側四分位数、3 / 4 分位数(第3四分位数)を上側四分位数ともいう[2]

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布のばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 は、四分位範囲: interquartile range, IQR)といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

四分位偏差正規四分位範囲: normalized interquartile range, NIQR)といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、 は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ(第2ヒンジは中央値)と呼ぶ。ヒンジは、(厳密に計算した)四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる ​[要出典]​。

三分位数・五分位数・十分位数[編集]

分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

パーセンタイル[編集]

分位数を、q パーセンタイル、(第)q 百分位数、(第)q 百分位点、(第)q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

最大値・最小値[編集]

0分位数は最小値、1分位数は最大値である[3]

五数要約[編集]

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 約0.25, 0.5, 約0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

脚注[編集]

  1. ^ JIS Z 8101-1 : 1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 1.10 分位点, 日本規格協会, http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html
  2. ^ 西岡康夫,数学チュートリアル やさしく語る 確率統計,1.5 分位数 p.12, オーム社, 2013, ISBN 9784274214073
  3. ^ 西岡康夫,数学チュートリアル やさしく語る 確率統計,1.4 度数分布 p.8, オーム社, 2013, ISBN 9784274214073

参考文献[編集]

  • 西岡康夫 『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』 オーム社、2013年ISBN 9784274214073