信頼区間

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信頼区間(しんらいくかん、: Confidence interval, CI)とは、母数空間 Θ 上の関数 g : Θ → R母数 θ ∈ Θ でとる値 g(θ) を統計的に推定するために用いられる区間。実数 0 < α < 1 と(観測できない)母数 θ により定まる確率分布 P = Pθ をもつ母集団からの標本 X1, ..., Xn に関する統計量 a, b が不等式

を満たすとき、閉区間 [a, b] を g(θ) の 100(1 − α)% 信頼区間という。値 1 − α (または 100(1 − α)%)は、信頼水準: confidence level)または信頼係数: confidence coefficient)と呼ばれ、慣習的には95%や99%(つまり α = 0.05, 0.01)などの数値を用いる。これを

100(1 − α)% CI [a, b]

と表記することもある。

例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、g(θ) に当たるのはA候補の支持率である。

解釈[編集]

95%信頼区間の例。50の信頼区間のうち3つには母数 μ が含まれていない。

上の言い方は「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」 というふうにとられやすいが、これは(少なくとも従来の統計学の主流的考え方としては)誤解である。

別の例として、観測値から海王星の質量を推定する場合を以下に記す。

1.「信頼水準90%で、海王星の質量は a から b の間である」

とは言えるが、観測から得られた値 ab に基づいて

2.「海王星の質量が a から b の間に入る確率は90%である」

と言うことはできない。質量はあくまで定数であって、誤差が生じるのは観測による、つまり ab が誤差を含む統計量だからである。従来の統計学(確率を頻度として定義する頻度主義)の考え方では海王星の例(1)を言い直せば、

1'.「『海王星の質量は a から b の間である』といえば、10回に9回くらいは当たっているだろう」

ということになる。

ただし、確率を信頼の度合いとして定義するベイズ推計学の考え方では、2のような言い方は必ずしも誤りではない。この場合、普通用いられる考え方はベイズ確信区間(Bayesian credible interval)である。これはまず θ の値として予想される事前確率分布から出発して、次に観測データが与えられた条件での θ の条件付確率分布を求め、これを事後確率分布として“信頼”区間の表現に用いる方法である。

具体例[編集]

X1, ..., Xn を、平均 μ、分散 σ2 > 0 の正規分布に従う母集団から抽出した独立な標本とする。そこで標本平均不偏分散をそれぞれ

とおけば

は自由度 n − 1 のt分布に従う。 ここで T が従う分布は(観測できない)母数 θ = (μ, σ2) には依らないことに注意。

Confidence-interval.svg

tn−1(α) をこの分布の上側100α%点とすれば

となる。したがって

が成り立ち、平均 g(θ) = μ の 100(1 − α)% 信頼区間

が得られる。

関連項目[編集]