区間 (数学)

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数学において区間(くかん)とは、実数全体の集合 R の部分集合で、ある一つながりの範囲を表すものである。またより一般的に、順序の定められた集合についても区間を考えることができる。

実数の区間[編集]

区間は幾つかの種類に分類できる。

閉区間
[a, b] = {x | axb}
開区間
(a, b) = {x | a < x < b}
左閉右開区間、左閉半開区間
[a, b) = {x | ax < b}
左開右閉区間、右閉半開区間
(a, b] = {x | a < xb}

後の二つを総称して半開区間とも呼称する。これらの名称は、閉区間が閉集合に、開区間が開集合にそれぞれなっていることによる。また、区間 (a, b) などにおいて ab をその区間の端点と呼ぶ。 角括弧 "["、"]" を用いた場合は端点をその区間の点として含み、丸括弧 "("、")" を用いた場合は端点をその区間に含まない。なお、端点を含まない区間を表すために丸括弧を用いる代わりに、開き括弧として "]"、閉じ括弧として"[" という記号を用いる流儀もある。この方法では、上の最後の二つはそれぞれ [a, b[、]a, b] となる。

また、端点に無限大 ±∞ を用いた区間を無限区間と呼ぶ。例えば、(a, +∞) は、a より大きな実数全てを含む集合である。無限大そのものを数として扱うわけではないので端点として無限大が含まれることは無く、区間の無限大のがわには必ず丸括弧を用いる。明らかに R = (-∞, ∞) である。記号としては、無限区間に"("、")"を使うが、無限区間は開区間であると同時に閉区間であることに注意しよう。また、空集合も開区間であると同時に閉区間である。区間が無限区間でないことを明示するために、無限区間でない通常の区間を有限区間と呼んで区別することがある。

区間 I に対し、端点が ab (ab) であるならば、I が端点を含むか否かに関わらず |I | = b - a と定義して、 |I | を区間 I長さという。|I | が無限区間のときは |I | = ∞ とする。線分 ll = I と定義すれば、これは線分の長さに他ならない。

長方形は、領域を意識する場合、区間を用いて I × J と定義することが出来る。この時、IJ は区間を表し、その種類(閉区間など)を限らない。この定義は、積分を行うときに重要である。また、この方法で定義した長方形の面積は |I | × |J | である。

より一般的な区間[編集]

実数の区間と同様に、任意の全順序集合に対しても区間を考えることができる。 全順序集合 T の部分集合 I がその区間であるとは、

a < x < b かつ a, bI ならば xI

が成り立つことである。

関連項目[編集]