最大事後確率

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最大事後確率(さいだいじごかくりつ、: Maximum a posteriori, MAP推定は、統計学において、実測データに基づいて未知の量の点推定を行う手法である。ロナルド・フィッシャー最尤法 (ML) に密接に関連するが、推定したい量の事前分布を利用して最適化された結果を得る。したがってMAP推定は、ML推定の正規化と見ることができる。

概要[編集]

の観測に基づいて、未知の母集団パラメータ を推定したいとする。標本分布 とすると、母集団パラメータを としたときの の確率は となる。すると

という関数は尤度関数であり、

の最尤推定である。

ここで、 の事前分布を とする。すると、ベイズ推定における確率変数として扱える。事後確率は次のようになる。

ここで の密度関数、 の定義域である。これはベイズの定理の直接的な応用である。

最大事後確率推定の手法では、次に をこの確率変数の事後分布の最頻値として推定する。

事後分布の分母は に依存していないので、最適化には何の役割も果たさない。 のMAP推定で事前分布 が一様分布の場合の結果は、ML推定に一致する。MAP推定は、一様損失関数におけるベイズ推定関数である。

MAP推定の計算方法はいくつか存在する。

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ある並び の独立な確率変数 があり、 の事前分布は で与えられるとする。ここで のMAP推定値を求める。

最大化すべき関数は次のようになる。

これは、 を動かし次の式を最小化することと等価である。

従って μ のMAP推定値は以下のようになる。

の場合を無情報事前分布(non-informative prior)と呼び、この例では である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • M. DeGroot, Optimal Statistical Decisions, McGraw-Hill, (1970).
  • Harold W. Sorenson, (1980) "Parameter Estimation: Principles and Problems", Marcel Dekker.