箱ひげ図

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アヤメ花弁の長さの分布を種ごとに表す箱ひげ図(Iris flower data set

箱ひげ図(はこひげず、箱髭図、box plot、box-and-whisker plot)は、データのばらつきをわかりやすく表現するための統計図である。主に多くの水準からなる分布を視覚的に要約し、比較するために用いる。ジョン・テューキーが1970年代に提唱した。様々な分野で利用されるが、特に品質管理で盛んに用いられる。(box)と、その両側に出たひげ(whisker)で表現されることからこの名がある[1]

定義[編集]

Elements of a boxplot en.svg

箱ひげ図は五数要約(five-number summary)と呼ばれる(頑健な)要約統計量

  • Q0/4 : 最小値(minimum)
  • Q1/4 : 第1四分位点(lower quartile)
  • Q2/4 : 中央値(第2四分位点、median)
  • Q3/4 : 第3四分位点(upper quartile)
  • Q4/4 : 最大値(maximum)

を表すグラフである。第1四分位点から第3四分位点までの高さに箱を描き、中央値で仕切りを描く。ただし、ひげや外れ値、箱の幅・形などの扱いにはいくつか変種がある。簡明なのは最大値と最小値をひげの端で表したものである。外れ値も扱うときには閉区間

[Q_{1/4} - 1.5 \, \mathrm{IQR}, \, Q_{3/4} + 1.5 \, \mathrm{IQR}] \quad \text{where} \quad \mathrm{IQR} = Q_{3/4} - Q_{1/4}

の外にあるものを(もしあれば)外れ値として個別に表示し、外れ値を除いたものの最大値・最小値にそれぞれひげの端をとる[2][3]母集団は実際には様々なタイプの確率分布に従うわけだが、箱ひげ図はそのような仮定に関係なく、データの分布を表現することができる。箱の各部分の間隔から分散歪度の程度を知ることもできる。

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以下に箱ひげ図の具体例を示す:

                            +-----+-+       
  *           o     |-------|   + | |---|
                            +-----+-+    
                                         
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+   number line
0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

このデータセット(値は図から読み取れる概略値とする)から、次のことが分かる。

  • 最小値 = 0.5
  • 第1四分位点 = 7
  • 中央値 = 8.5
  • 第3四分位点 = 9
  • 最大値 = 10
  • 平均値 = 8
  • 四分位範囲(IQR) = 2
  • 3.5という値は"軽度の"外れ値、つまりQ1/4よりも 1.5×IQR から 3×IQR だけ下にある
  • 0.5という値は"極端な"外れ値、つまりQ1/4よりも 3×IQR 以上下にある
  • 外れ値以外の最小値は5
  • データは左に歪んでいる(負の歪度)

"軽度"および"極端"外れ値の境は、箱の長さの2倍の点である。

変種[編集]

Fourboxplots.svg

いろいろな統計パッケージで使われている箱ひげ図の中には、違う方式(例えば5%点と95%点をひげの端にする)を採用したものもある。このような方式は、中央値を中心とする分布を強調するテューキーの方式と異なり、またデータサイズが10を越えただけで(分布の形によらず)外れ値を出してしまう傾向がある。

脚注[編集]

  1. ^ 西岡康夫,数学チュートリアル やさしく語る 確率統計,1.6 箱ひげ図 p.13, オーム社, 2013, ISBN 9784274214073
  2. ^ Dekking et al. 2005, 16.4 The box-and-whisker plot.
  3. ^ R言語boxplotもデフォルトではこのようにプロットする。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]