対移動平均比率法

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対移動平均比率法(たいいどうへいきんひりつほう、: ratio-to-moving-average method)は,過去の時系列データから,将来の数値を予測する方法の一つ。需要予測などに用いる。季節変動や曜日変動などの周期性がある場合に有効である。移動平均法の一種であり、比較的単純な方法であるが、実用的な結果を出すことが多い。竹安数博らが1997年に発表した[1]

原理[編集]

まず、過去のデータから各季節ごとの季節指数を求める。次に、傾向を延長し、それに季節指数を掛けて予測値を得る。

需要などの変動は、傾向変動循環変動季節変動、不規則変動などに分解される。

対移動平均比率法では、時系列データ A を傾向変動 (F) と季節変動 (E) のとして捉える。1周期分(例えば1年分)のデータの平均値は、季節変動を除去した値になる。平均値を取る範囲をずらしていくと滑らかな系列(移動平均)B が得られる。そして、原データ A の平均値 B に対する比(対移動平均比率)C を季節ごとに平均した値(季節別平均値)D を正規化して、季節ごとの係数である季節指数 E を知る。

また、元の時系列データ A を季節指数 E で割れば、季節変動を取り除いた滑らかな系列 F が得られる(F には循環変動と不規則変動だけが残っている)。これを回帰分析して、傾向変動(トレンド)とする(傾向推定)。将来を予測するときは、まず回帰式によって傾向値 F を延長して将来の傾向値 f を推測(外挿)し、次に各季節の季節指数 E を掛けて予測値を得る。

「季節変動」は、必ずしも1年を周期とする季節に限らず、1週を周期とする曜日(曜日変動)でもよい。(竹安ら[2]は、これらを総括して「期間変動」と呼んでいる。そのとき、季節指数を「期間指数」と呼ぶ。)循環の周期が一定している変動ならば、この方法が適用できる。

手法[編集]

ここでは、1年を周期とする「季節変動」をもつ春・夏・秋・冬ごとの季節データを想定して、手法の用語を記述する。過去の数周期分のデータがあるとする。

  1. 周期性をもつ時系列の原データ A から、1周期分の移動平均の系列 B を計算する。
  2. 各季節データ A の移動平均 B に対する比率(対移動平均比率)C を計算する。
  3. 各季節ごとに対移動平均比率 C の平均値(季節別平均値)D を計算する。
  4. 季節別平均値 D を D 全体の平均値で割って、各季節の季節指数 E を得る。
  5. 原データ A を季節指数 E で割り、滑らかな傾向値 F を得る。
  6. 過去の傾向値 F を(最小二乗法によって)回帰分析する。
  7. 将来の傾向値 f を(回帰式によって)推測する。
  8. 将来の推測値 f に季節ごとの季節指数 E を掛けた予測値を計算する。

実は、1周期内のデータ数(春・夏・秋・冬の場合は 4)が偶数の場合は移動平均の計算に少し工夫が必要であり、その手法は下の 3.2#周期が偶数である場合)に示す。

数値例[編集]

まず、1周期内のデータ数が奇数である場合の数値例によって、手法の主要部分の実際を示す。

周期が奇数である場合[編集]

過去3週間分の日々のデータから、次の1週間分を予測している。

1週を周期とする曜日変動のある場合の計算例とそのグラフを示す。過去の3周期分(先々週から今週まで)の日ごとのデータから、来週1週間分を予測する。

表の下にある段階 6. 傾向の推定 では、傾向値を推定する何らかの手法を用いる。ここでは、直線による回帰分析をしている。

曜日による変動がある場合の例
段階 平均
0. 原系列 A 先々週 126 87 149 127 246 276 288
先週 138 91 160 139 274 297 309
今週 147 101 174 147 289 328 341
1. 移動平均 B 先々週 -- -- -- 185.6 187.3 187.9 189.4
先週 191.1 195.1 198.1 201.1 202.4 203.9 205.9
今週 207.0 209.1 213.6 218.1 -- -- --
2. 対移動平均
 比率
  C = A/B
先々週 -- -- -- 0.684 1.313 1.469 1.521
先週 0.722 0.466 0.808 0.691 1.354 1.457 1.501
今週 0.710 0.483 0.815 0.674 -- -- --
3. 曜日別平均値 D 0.716 0.475 0.811 0.683 1.334 1.463 1.511 0.999
4. 曜日指数 E 0.717 0.475 0.812 0.684 1.335 1.464 1.512 1.000
5. 傾向値
  F = A/E
先々週 175.8 183.1 183.5 185.7 184.3 188.5 190.5
先週 192.5 191.5 197.1 203.3 205.3 202.8 204.3
今週 205.1 212.5 214.3 215.0 216.5 224.0 225.5
7. 推測値 f 来週 225.2 227.5 229.8 232.0 234.3 236.6 238.9
8. 予測値 f ×E 来週 161.4 108.1 186.5 158.7 312.8 346.4 361.2

6. 傾向の推定 - 傾向値の系列 Fx から最小二乗法によって回帰直線 f = ax + b係数を求めると、a = 2.29, b = 177.2 を得る。ここで、x はデータの番号とする (x = 0, 1, 2, ..., 20)。

7. 推測値 - 回帰直線 f = 2.29x + 177.2 を用いて、来週の傾向値データ fx を推測する (x = 21, 22, ..., 27)。

周期が偶数である場合[編集]

1周期内のデータ数が偶数である場合には、1. 移動平均 B を計算するときに少し工夫が要る。例えば、単純移動平均をさらに二つずつ平均する方法がある[1]。こうすると移動平均の項数が1つ少なくなるが、各季節の前後のデータを対称かつ均等に扱った平均値が得られる。

周期内のデータ数が偶数である場合の移動平均
段階 前々年 前年 今年
季節 春' 夏' 秋' 冬' 春" 夏" 秋" 冬"
0. 原系列 A 126  87 246 288 138  91 274 309 147 101 289 341
4項の単純
 移動平均
-- 186.8 189.8 190.8 197.8 203.0 205.3 207.8 211.5 219.5 --
1. 2項ずつの
 移動平均 B
-- -- 188.3 190.3 194.3 200.4 204.1 206.5 209.6 215.5 -- --

例えば、表の左下隅の値 188.3 は、前々年の春と前年の春'を平均した値と、夏,秋,冬の値との平均になっている。

188.3 = { 186.8 + 189.8 } / 2
      = { (春+夏+秋+冬)/4 + (夏+秋+冬+春')/4 } / 2
      = {  春    +  2×(夏+秋+冬)  +     春'}/4  / 2
      = {  春/2  +      夏+秋+冬   +   春'/2}/4  …… 秋を中心として対称
      = { (春+春')/2 +夏+秋+冬 }/4

歴史[編集]

対移動平均比率法は、竹安数博が開発し、1997年に『新しい経営数学』[1]で発表した。

竹安らは、2006年にこの手法に関しての特許を取得している[2]


脚注[編集]

  1. ^ a b c 佃純誠, 竹安数博, 村松健児『新しい経営工学』中央経済社, 1997, pp. 194-197。ISBN 978-4502408854.
  2. ^ a b 竹安数博、樋口友紀「データ予測装置、データ予測プログラム」astamuse, 公開日:2006年12月07日(公開番号:2006331312号)。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]