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点推定 (てんすいてい、英 : point estimation )とは、推計統計学 において観測データに基づいて未知量に対する良好な推定 (推定量 )と見なせる値(統計量 )を計算する手法とその結果を言う。平均 値・中央値 ・最頻値 などが用いられる。尤度関数の最頻値で推定する場合、事前分布がない場合を最尤推定 、事前分布がある場合を最大事後確率 推定という。
通常、推定値は記号の上に「^」をつける。
正規分布の場合 [ 編集 ]
正規分布 の場合、平均値 と標準偏差 の二つのパラメータで分布が表現される。点推定自体は推定方法の規定はないが、正規分布の場合、不偏推定 と最尤推定 で異なる結果になり、基本的には不偏推定を使用する。
不偏推定 の場合
推定標準偏差は標本分散ではなく不偏分散 を用いる(記事「標準偏差 」を参照)。標本数をnとすると、推定平均 値と推定標準偏差は以下の式で算出される。
μ
^
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
σ
^
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
^
)
2
n
−
1
{\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\mu }})^{2}}{n-1}}}}
最尤推定 の場合
尤度関数の最頻値で推定するのが最尤推定。n で割った、標本分散 になる。
μ
^
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle {\hat {\mu }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
σ
^
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
^
)
2
n
{\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {\mu }})^{2}}{n}}}}
母集団が歪んでいる場合など、平均値で対称になっていない場合、平均値を用いるよりも中央値 や最頻値 を用いたほうがその分布の特徴を捉えやすい場合がある。
ベイズ点推定 [ 編集 ]
ベイズ統計学 (ベイズ推定 )においては、推定問題の答えとして事後確率 分布を得た後、平均値・中央値・最頻値などを点推定とする事が多い。
関連項目 [ 編集 ]