モーメント (数学)

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数学確率論および関係した諸分野におけるモーメントmoment)または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数xに関する関数 次モーメント は、

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメントすべての情報から関数f(x)は一意に決定される。fを密度関数とする測度重心を表している。

関数 周りの 次モーメント は、

で表される。

重心周りのモーメントμn = μ(μ)n中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント[編集]

確率密度関数 のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

  • 全測度は1:
  • x平均値
  • 分散標準偏差
  • 歪度
  • 尖度

変量統計のモーメント[編集]

変量統計においては、データ x1 ... xN のモーメントは

で表される。

変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

  • は平均値。
  • は分散、 は標準偏差。
  • は歪度。
  • は尖度。

画像のモーメント[編集]

2変数関数 次モーメント は、

または、デジタル画像に対しては、

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

  • 面積(ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。)。
  • 重心
  • 慣性主軸(周りの2次モーメントが最小になる直線)は重心を通り、傾きはで、をみたす。
  • 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献[編集]