近似値

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近似値(きんじち)とは、必要とされる誤差の範囲内で、あるを表していると思って構わない数値のこと。あるいはある数の情報を一部削って得られる値、すなわちある数値に対して端数処理を施した値(数値を「丸め」たもの)である。

代表例[編集]

円周率[編集]

学校教育などで円周率 π の値として用いられる十進数の「3.14」が、近似値の最も代表的な例である。円周率は広く知られている代表的な無理数であり、整数のとして表されることは決してない。すなわち、その小数表示は有限桁で途切れたり循環したりすることはなく、

のようになる。

円周率の近似値として「3.14」または「3」がしばしば用いられるが、このような「きれいな数字」で書かれるものばかりが近似値ではない。例えば、アルキメデスが正九十六角形を用いて円周率の詳しい値を計算したという話は有名であるが、それにより円周率の近似値 22/7, 223/71 が得られる。さらに精度の高い近似値として 355/113 が用いられる。他にも √10 や √2 + √3 などの無理数を円周率の近似値として用いることもある。(平方根は代数的数なので、超越数である円周率よりはまだ計算に向いているため、このような近似も意味があるわけである。)

平方根[編集]

平方数でない整数の平方根も無理数であり、現実的な計算に用いるときにはしばしば近似値が用いられる。2 の正の平方根 √ 2 の場合ではその小数展開が

となるため、一般的に「1.414」などが近似値として用いられる。同様に √3 は「1.732」、√5 は「2.236」などが近似値として使われる。

数値計算における近似値の必要性[編集]

上記に挙げた例のように、有限の資源で表示できない値では正確な計算ができない、または即時に結果が出ないということが起きる。例えばコンピュータで計算する場合は、桁あふれが発生し全体の処理に影響を及ぼすことがある。

この問題を解消するためにある程度まで情報を削除し、計算を簡略させるために近似値を用いる。

当然、得られた結果は正確なものではなく、本来の数値からは誤差を生ずる。したがって、同時に誤差の評価もきちんと行うことが要求される。

異なるN進法での互換[編集]

異なるN進法に置き換えた場合でも、近似値は発生する。

例えば、十進法の「10/100」を十二進法の「n/100」に直す場合、近似値は、十二進法の「n/100」の同値である十進法の「n/144」に換算して割り出される。この場合、以下の順番となる。

  1. 十進法の100の約数と、十二進法の100である十進法の144の約数を列挙する。100は2, 4, 5, 10, 20, 25, 50。144は2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72。
  2. 十進法の「10÷100」と、これを十二進表記に変換した「A÷84」の商を出す。十進法で0.1、十二進法で0.124972497…となり、十二進法の方を小数第二位まで丸めた12が十進表記の14となる。差は10-14 = -4。分数化すると、十進法で1/10、十二進法で1/A。
  3. 十二進法の「10÷100」と、これを十進表記に変換した「12÷144」の商を出す。十進法で0.083333…、十二進法で0.1となり、十進法の方を小数第二位までを丸めると8となる。差は8-10 = -2。分数化すると、十進法で1/12、十二進法で1/10。
  4. 十進法の「8÷100」と、十二進法の「8÷100」の商を出す。十進法で0.125、十二進法で0.16、十二進法の16を十進法に換算すると18となる。差は12-10 = 2。分数化すると、双方とも1/8。
  5. 十進法の「9÷100」と、十二進法の「9÷100」の商を出す。十進法で0.1111…、十二進法で0.14、十二進法の14を十進法に換算すると16になる。差は11-10 = 1。分数化すると、双方とも1/9。

以上の順番から、差が最も小さい(0.1111…)10と(0.14)12が近似値になり、十進法の10/100を十二進法のn/100に置き換えると、14/100、即ち十進法の「16/144」が近似値となる。
これを約分すると、十進法の10/100が「1/10」に対して、十二進法の14/100である十進法の16/144は「1/9」になる。言い換えると、百分率の「1/10」「1割」の近似値は、百四十四分率では「1/9」になる。更に、100=10×10 を 144=m×n に置き換える場合には、144=9×16 として置き換え、6.25(=16/100)を9(=16/144)に置き換えることになる。

関連項目[編集]