規格化

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規格化 (normalization)

ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

 \int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1

とすることが規格化(正規化とも言う)である。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

 \int_{V_{cell}} | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1

ここで、Vcell は単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は \Psi = \Psi(x,y,z,t) = \Psi(\mathbf{r},t) で表され、これは、

 \int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = \int | \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r} = 1

と規格化される。これは、ある時刻tで粒子が位置 r での微小な領域 dr(=dxdydz) に存在する確率が、 | \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r} であることを示している。それを全空間(粒子の存在しうる全領域)で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。