ポッホハマー記号

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解析学におけるポッホハマー記号(ポッホハマーきごう、: Pochhammer symbol)はレオ・オーギュスト・ポッホハマー英語版の名に因む特殊函数[* 1]で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について[編集]

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

  • : 組合せ論で使用
  • : 解析学、特殊函数論で使用
  • : (その他の記法)

特殊函数論では (x)n昇冪[* 2]

を表すのに用いるが、組合せ論では (x)n を降冪[* 3]

.

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x)n, 降冪を (x)n でそれぞれ表すこともよく行われる[* 4]。さらに Graham, Knuth & Patashnik (1988) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

差分学における降冪は微分学におけるの類似対応物である。

特殊函数としての定義[編集]

特殊函数論におけるポッホハマー記号は一般には(x は実または複素変数として)ガンマ函数を用いて

と定義される。すると x = m および n が自然数のとき、

が成り立つ。

性質[編集]

n に対するポッホハマー記号 (x, n) のグラフ
  • ポッホハマー記号 (x, n)複素変数 x に関して有理型函数である。
  • 任意の自然数 nN に対して (x, n)x の多項式であり、x = 0 を共通根に持つ。
  • 変数 x の符号を反転するとき
  • 径数 n の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:
  • 商の法則:
  • 特殊値:
  • 二項係数との間に以下の関係がある:

応用[編集]

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

  1. ニュートンの一般二項定理:
  2. 超幾何函数:

一般化[編集]

q-類似[編集]

ポッホハマー記号の q-類似q-ポッホハマー記号がある。これは

で定義される。

多重ポッホハマー記号[編集]

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

注釈[編集]

  1. ^ ポッホハマー自身は (x)n二項係数に用い、降冪は [x]n、昇冪は [x]+
    n
    で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Rising Power". MathWorld(英語). 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Falling Power". MathWorld(英語). 
  4. ^ それほど一般的ではないが昇冪を (x)+n と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は (x)n と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414)

参考文献[編集]

外部リンク[編集]