一般化双曲型分布

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一般化双曲型分布 (英:GH, Generalized Hyperbolic Distribution)は、一般化逆ガウス分布(GIG分布)による正規尺度平均混合として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsenにより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布[編集]

確率密度関数[編集]

一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。


ここで、

は、第3種の変形ベッセル関数
位置(location)パラメータ (実数)
(実数)
(実数)
歪度(skewness)/非対称性(asymmetry)パラメータ (実数)
尺度(scale)パラメータ (実数)
λ>0 のとき、
λ=0 のとき、
λ<0 のとき、

モーメント[編集]

本節では、以下


とする。

期待値[編集]

期待値は以下の式で与えられる。

分散[編集]

分散は以下の式で与えられる。

モーメント母関数[編集]

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

特性関数[編集]

特性関数は以下の式で与えられる。

特別なケース[編集]

λ=1 の場合[編集]

双曲型分布(HYP)となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数


λ=-1/2 の場合[編集]

正規逆ガウス分布(NIG)となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数


λ=-1/2、 α=β=0 の場合[編集]

正規逆ガウス分布(NIG)の特別な場合として、コーシー分布となる。


λ=-ν/2、α→|β| の場合[編集]

自由度νの非対称なスチューデントのt分布となる。(β≠0)

λ=-ν/2、α=β=0、 の場合[編集]

自由度νの(対称な)スチューデントのt分布となる。


α→∞、δ→∞、 の場合[編集]

平均 、分散 正規分布となる。


参考文献[編集]

(英語)

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

(日本語)

脚注[編集]

a b 

外部リンク[編集]