ジップの法則

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ジップの法則
確率密度関数
Plot of the Zipf PMF for N = 10
N = 10の両対数スケールのZipf確率密度関数。横軸は順位k。この関数はkの整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。)
累積分布関数
Plot of the Zipf CDF for N=10
N = 10のZipf累積分布関数。横軸は順位k。(この関数はkの整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。)
母数 (実数)
(整数)
確率密度関数 ここでHN,sN番目の一般化調和数
累積分布関数
期待値
最頻値
分散
エントロピー
モーメント母関数
特性関数
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ウィキペディア(30ヶ国語版)における単語の出現頻度

ジップの法則(ジップのほうそく、Zipf's law)あるいはジフの法則とは、出現頻度が k 番目に大きい要素が全体に占める割合が 1/k に比例するという経験則である。Zipf は「ジフ」と読まれることもある。また、この法則が機能する世界を「ジフ構造」と記する論者もいる。

包括的な理論的説明はまだ成功していないものの、様々な現象に適用できることが知られている。この法則に従う確率分布(離散分布)をジップ分布という。ジップ分布はゼータ分布英語版の特殊な形である。

由来[編集]

元来は、アメリカの言語学者ジョージ・キングズリー・ジップ英語単語の出現頻度とその順位に関して発見した言語学の法則である。

法則が成立する現象の例[編集]

次のような様々な現象(自然現象、社会現象など)に成り立つ場合があることが確認されている:

論理的な定義[編集]

一般のジップの法則は

(ただし N は全要素の数、k は順位)と書き表される。

ここで元来のジップの法則では s = 1 である。このとき N を無限大にすると分母は収束しない(無限大に発散する、「調和級数」を参照)ため、元来のジップの法則では N を有限としなければならない(現実にもそう考えられる場合が多い)。

ただし s が1より少しでも大きい実数ならば、N を無限大にしても分母は収束し(ゼータ関数 ζ(s) に等しい)、k の値を無限にとりうる分布関数とすることができる。

関連する概念[編集]

ジップの法則は冪乗則 (Power law) の一種である。また、ジップ分布は変数変換によりパレート分布(連続分布)と同じ形になることが示されている。パレート分布の離散型である。パレートの法則はパレート分布の特別な場合に当たり、また80-20の法則とも関係がある。順位規模の法則とも呼ばれる。

関連項目[編集]