再生性

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確率分布の族における再生性(さいせいせい、: reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。

定義[編集]

分布族を考える。

任意の確率分布に対して、Fiに従う互いに独立な確率変数をXiとおく () 。これをと書く(以下同様)。

このとき、の確率分布Fを満たすならば、分布族再生性を持つという。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。

再生性を持つ分布族[編集]

以下で用いられる2つの確率変数 X1, X2 は互いに独立であると仮定する。

正規分布
コーシー分布
コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。
ガンマ分布
尺度母数 θ が異なる場合は当てはまらない。
特に k1, k2 が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、k1, k2 が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。
二項分布
確率 p が異なる場合は当てはまらない。
負の二項分布
確率 p が異なる場合は当てはまらない。
ポアソン分布
カイ二乗分布

関連項目[編集]