一般のライプニッツの法則

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数学微分積分学において一般のライプニッツの法則(いっぱんのライプニッツのほうそく、: general Leibniz rule[1]一般ライプニッツ則)とは、(ライプニッツの法則としても知られる)積の法則の一般化であり、fgn 回微分可能な関数とするとき、それらの積 fgn 階微分が

で与えられることを述べるものである。ここで 二項係数である。ドイツ哲学者数学者ゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

多重指数記法を使い、より一般に

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、PQ を(係数が十分多くの回数微分可能であるような)微分作用素とし、 とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が

で与えられるから、ここに直接計算によって

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間にはの構造が入る。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

外部リンク[編集]