出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
関数 f (x ) = log x x = 1p n x ) = Σ n k = 0 x − 1)k f (k ) (1)/k ! 指数関数 y = e x 微分積分学 において、テイラーの定理 （テイラーのていり、英 : Taylor's theorem ）は、k 回微分可能 な関数 の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式 によって与える。解析関数 に対しては、与えられた点におけるテイラー多項式は、そのテイラー級数 を有限項で切ったものである。テイラー級数は関数を点のある近傍において完全に決定する。「テイラーの定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。
テイラーの定理は1712年 に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor) にちなんで名づけられている。しかし誤差の明示的な表現はかなり後になってジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) によってはじめて与えられた。結果の初期のバージョンはすでに1671年 にジェームス・グレゴリー (James Gregory) によって言及されている[ 1]
テイラーの定理は微分積分学の入門レベルで教えられ、解析学 の中心的な初等的道具の1つである。純粋数学ではより進んだ漸近解析 （英語版 ） 数値解析 や数理物理学 においてよく使われている。テイラーの定理は任意次元 n , m の多変数 ベクトル値 関数 f : R n → R m 微分幾何学 や偏微分方程式 において現れるいわゆるジェット （英語版 ）
この節には内容がありません。 加筆 して下さる協力者を求めています。
テイラーの定理の最も基本的なバージョンの正確なステートメントは次のようになる：
テイラーの定理 [ 2] [ 3] [ 4] ― k ≥ 1 を整数 とし関数 f : R → R a ∈ R k 回微分可能とする。すると次を満たす関数 hk : R → R
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
h
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
,
{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}
lim
x
→
a
h
k
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}
これはペアノ の剰余項
テイラーの定理に現れる多項式は関数 f の点 a における k 次のテイラー多項式
P
k
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
である。テイラー多項式は次のような意味で「漸近的に最もフィットする」唯一の多項式である、すなわち、関数 hk : R → R k 次多項式 p が存在して
f
(
x
)
=
p
(
x
)
+
h
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
,
lim
x
→
a
h
k
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}
となるならば、p = Pk である。テイラーの定理は剰余項
r
k
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
{\displaystyle r_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x)}
の漸近的な振る舞いを記述する。これは f をテイラー多項式で近似するときの近似誤差 である。ランダウの記号 を用いれば、テイラーの定理のステートメントは次のように書ける：
r
k
(
x
)
=
o
(
|
x
−
a
|
k
)
,
x
→
a
.
{\displaystyle r_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}
f へのより強い正則性の仮定のもとで、テイラー多項式の剰余項
R
k
+
1
(
x
)
=
r
k
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
{\displaystyle R_{k+1}(x)=r_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x)}
に対するいくつかの正確な公式がある。最も一般的なものたちは以下のものである。
平均値形の剰余項 ― f : R → R 閉区間 [a , x ] 上 k 回連続微分可能 、開区間 (a , x ) 上 k + 1 (k ≥ 0) 回微分可能 であるとする。 (x < a のときは区間をそれぞれ [x , a ] , (x , a ) とする。) このとき
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
L
)
(
k
+
1
)
!
(
x
−
a
)
k
+
1
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{\mathrm {L} })}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}
となる実数 ξ L が a と x の間（両端は含まない）に存在する。これはラグランジュ の剰余項[ 5]
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
C
)
k
!
(
x
−
ξ
C
)
k
(
x
−
a
)
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{\mathrm {C} })}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)}
となる実数 ξ C が a と x の間に存在する。これはコーシー の剰余項[ 6]
θ
=
ξ
−
a
x
−
a
∈
(
0
,
1
)
(
ξ
=
ξ
L
,
ξ
C
)
{\displaystyle \theta ={\frac {\xi -a}{x-a}}\in (0,1)\;(\xi =\xi _{\mathrm {L} },\xi _{\mathrm {C} })}
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
a
+
θ
(
x
−
a
)
)
(
k
+
1
)
!
(
x
−
a
)
k
+
1
,
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(a+\theta (x-a))}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1},}
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
a
+
θ
(
x
−
a
)
)
k
!
(
1
−
θ
)
k
(
x
−
a
)
k
+
1
.
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(a+\theta (x-a))}{k!}}(1-\theta )^{k}(x-a)^{k+1}.}
テイラーの定理のこれらの改良は通常平均値の定理 を用いて証明されるため、その名前がある。また他の同様の表示も見つけられる。例えば、G (t ) が閉区間上連続、開区間上で微分可能で導関数 の値が非0ならば、
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
k
!
(
x
−
ξ
)
k
G
(
x
)
−
G
(
a
)
G
′
(
ξ
)
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}
となる数 ξ コーシーの平均値の定理 を用いて証明される。
積分形の剰余のステートメントはこれまでのものより進んでおり完全な一般性にはルベーグ積分 論の理解が要求される。しかしながら、f の (k + 1) 階微分が閉区間 [a , x ] 上連続であるならば、リーマン積分 の意味でも成り立つ。
積分形の剰余項 [ 8] ― f (k ) を a と x の間の閉区間上絶対連続 とする。すると
R
k
+
1
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
k
+
1
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
d
t
.
{\displaystyle R_{k+1}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}
これはベルヌーイの剰余とも呼ばれる。閉区間上の f (k ) の絶対連続性により、導関数 f (k +1) は L 1 関数として存在し、結果は微分積分学の基本定理 と部分積分 を用いた形式的な計算により証明できる。
テイラー近似に現れる項の剰余項の正確な公式があるよりはむしろそれを評価できることの方が実用上しばしば有用である。f が a を含む区間 I において (k + 1) 回連続微分可能とする。実定数 q , Q が存在して I 上
P
≤
f
(
k
+
1
)
(
x
)
≤
Q
{\displaystyle P\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}
とする。このとき剰余項は x > a
P
(
x
−
a
)
k
+
1
(
k
+
1
)
!
≤
R
k
+
1
(
x
)
≤
Q
(
x
−
a
)
k
+
1
(
k
+
1
)
!
,
{\displaystyle P{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k+1}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}
を満たし[ 10] x < a r > 0 で区間 I = (a − r , a +r )
|
f
(
k
+
1
)
(
x
)
|
≤
M
{\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}
ならば、すべての x ∈ (a −r , a +r )
|
R
k
+
1
(
x
)
|
≤
M
|
x
−
a
|
k
+
1
(
k
+
1
)
!
≤
M
r
k
+
1
(
k
+
1
)
!
{\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}
である。第二の不等式は一様評価 と呼ばれる。区間 (a −r , a +r ) 上すべての x に対して一様に成り立つからである。
e x x = 0 を中心とする次数 k = 1, ..., 7 のテイラー多項式 Pk （赤）による近似。関数 f (x ) = e x [− 1, 1] 上で誤差が 10− 5近似 したいとしよう。この例で我々は指数関数 の次の性質しか知らないとしよう：
(
∗
)
e
0
=
1
,
d
d
x
e
x
=
e
x
,
e
x
>
0
,
x
∈
R
.
{\displaystyle (*)\qquad e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}
これらの性質から次のことが従う。すべての k に対して f (k ) (x ) = e x f (k ) (0) = 1f の 0 における k 次のテイラー多項式とそのラグランジュの剰余項は
P
k
(
x
)
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
⋯
+
x
k
k
!
,
R
k
+
1
(
x
)
=
e
ξ
(
k
+
1
)
!
x
k
+
1
{\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k+1}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1}}
によって与えられる、ただし ξ x の間のある数である。e x − 1, 0] 上で剰余項を評価するのに単純に ex ≤ 1 (x ∈ [− 1, 0]) を使うことができる。[0, 1] 上の剰余の上界を得るには、0<ξ x に対して eξ <ex
e
x
=
1
+
x
+
e
ξ
2
x
2
<
1
+
x
+
e
x
2
x
2
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}
と評価できる。ex について解いて、単純に分子 を最大化、分母 を最小化して、
e
x
≤
1
+
x
1
−
x
2
2
=
2
1
+
x
2
−
x
2
≤
4
,
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}
を得る。ex に対するこれらの評価を組み合わせて、
|
R
k
+
1
(
x
)
|
≤
4
|
x
|
k
+
1
(
k
+
1
)
!
≤
4
(
k
+
1
)
!
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1}
となるので、要求された正確さは
4
(
k
+
1
)
!
<
10
−
5
⇔
4
⋅
10
5
<
(
k
+
1
)
!
⇔
k
≥
9
{\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Leftrightarrow \quad k\geq 9}
のときに確かに達成されている。（値 9! = 880 628 800 階乗 を参照するか手計算せよ。）結論として、テイラーの定理から次の近似が導かれる：
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
…
+
x
9
9
!
+
R
9
(
x
)
,
|
R
9
(
x
)
|
<
10
−
5
,
−
1
≤
x
≤
1.
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}
例えば、この近似から小数点以下五桁まで正しい小数 表示
e
≈
2.71828
{\displaystyle e\approx 2.71828}
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関数 f : R n → R が a ∈ R n 微分可能 であることは、次と同値 である。
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
L
(
x
−
a
)
+
h
(
x
)
|
x
−
a
|
,
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
0
{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})|\mathbf {x} -\mathbf {a} |,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0}
となるような線型汎関数 L : R n → R と関数 h : R n → R が存在する。
この条件が成り立つとき、L = df (a a f の（一意的に定義される）微分 である。さらに、このとき f の a 偏微分 が存在し、f の a
d
f
(
a
)
(
v
)
=
∂
f
∂
x
1
(
a
)
v
1
+
⋯
+
∂
f
∂
x
n
(
a
)
v
n
{\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}}
によって与えられる。
次のような多重指数 表記を導入する。α ∈ N n x ∈ R n
|
α
|
=
α
1
+
⋯
+
α
n
,
α
!
=
α
1
!
⋯
α
n
!
,
x
α
=
x
1
α
1
⋯
x
n
α
n
.
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}
f : R n → R k 階偏導関数 が a ∈ R n クレローの定理 より、a
D
α
f
=
∂
|
α
|
f
∂
x
1
α
1
⋯
∂
x
n
α
n
,
|
α
|
≤
k
{\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}
がこの状況において正当化される。f のすべての (k − 1) 階偏導関数が a a [ 11] f は点 a において k 回微分可能である という。
テイラーの定理の多変数版[ 12] ― f : R n → R a ∈ R n k 回微分可能な関数とする。このとき次を満たす h α R n → R
f
(
x
)
=
∑
|
α
|
≤
k
D
α
f
(
a
)
α
!
(
x
−
a
)
α
+
∑
|
α
|
=
k
h
α
(
x
)
(
x
−
a
)
α
,
{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },}
lim
x
→
a
h
α
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.}
関数 f : R n → R 閉球 B において k + 1 回連続微分可能 ならば、f の k + 1 階偏導関数を用いてこの近傍において剰余項の正確な公式を導出できる。すなわち、
f
(
x
)
=
∑
|
α
|
≤
k
D
α
f
(
a
)
α
!
(
x
−
a
)
α
+
∑
|
β
|
=
k
+
1
R
β
(
x
)
(
x
−
a
)
β
,
R
β
(
x
)
=
|
β
|
β
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
|
β
|
−
1
D
β
f
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}
このとき、コンパクト集合 B における k + 1 階偏導関数の連続性 によって、ただちに次の一様評価を得る。
|
R
β
(
x
)
|
≤
1
β
!
max
|
α
|
=
|
β
|
max
y
∈
B
|
D
α
f
(
y
)
|
,
x
∈
B
.
{\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}
例えば、関数 f : R 2 → R の三階のテイラー多項式は、x − a v
P
3
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∂
f
∂
x
1
(
a
)
v
1
+
∂
f
∂
x
2
(
a
)
v
2
+
∂
2
f
∂
2
x
1
(
a
)
v
1
2
2
!
+
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
)
v
1
v
2
+
∂
2
f
∂
2
x
2
(
a
)
v
2
2
2
!
+
∂
3
f
∂
x
1
3
(
a
)
v
1
3
3
!
+
∂
3
f
∂
2
x
1
∂
x
2
(
a
)
v
1
2
v
2
2
!
+
∂
3
f
∂
x
1
∂
2
x
2
(
a
)
v
1
v
2
2
2
!
+
∂
3
f
∂
3
x
2
(
a
)
v
2
3
3
!
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x_{1}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{2}x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial ^{2}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{3}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}
f は点 a ∈ R k 回微分可能であることから a の適当な近傍で k -1
h
k
(
x
)
=
{
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
x
≠
a
0
x
=
a
{\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\dfrac {f(x)-P_{k}(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}
と定める。ただし
P
k
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
ここで j = 0,1,...,k − 1
f
(
j
)
(
a
)
−
P
k
(
j
)
(
a
)
=
0
{\displaystyle f^{(j)}(a)-P_{k}^{(j)}(a)=0}
ロピタルの定理 を k − 1
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
=
lim
x
→
a
(
d
/
d
x
)
(
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
)
(
d
/
d
x
)
(
x
−
a
)
k
=
⋯
=
lim
x
→
a
(
d
/
d
x
)
k
−
1
(
f
(
x
)
−
P
k
(
x
)
)
(
d
/
d
x
)
k
−
1
(
x
−
a
)
k
=
1
k
!
lim
x
→
a
[
f
(
k
−
1
)
(
x
)
−
f
(
k
−
1
)
(
a
)
x
−
a
−
f
(
k
)
(
a
)
]
=
1
k
!
(
f
(
k
)
(
a
)
−
f
(
k
)
(
a
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P_{k}(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)(x-a)^{k}}}=\cdots =\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)^{k-1}(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)^{k-1}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}\left[{\frac {f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(a)}{x-a}}-f^{(k)}(a)\right]\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}
ここで最後の等式は点 a での微分の定義による。従って
lim
x
→
a
h
k
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}
簡単のために a < x G で閉区間 [a , x ] で連続 、開区間 (a , x ) で微分可能、さらに導関数 G' の値が開区間上で非0となるものを考える。
次に関数 F を
F
(
t
)
=
f
(
t
)
+
f
′
(
t
)
(
x
−
t
)
+
f
″
(
t
)
2
!
(
x
−
t
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
{\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}}
と定めると、 F は閉区間 [a , x ] で連続、開区間 (a , x ) で微分可能である。するとコーシーの平均値の定理 により
(
∗
)
F
′
(
ξ
)
G
′
(
ξ
)
=
F
(
x
)
−
F
(
a
)
G
(
x
)
−
G
(
a
)
=
R
k
+
1
(
x
)
G
(
x
)
−
G
(
a
)
{\displaystyle (*)\quad {\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {R_{k+1}(x)}{G(x)-G(a)}}}
を満たす点 ξ ∈ (a ,x )F の導関数を計算すると、
F
′
(
t
)
=
f
′
(
t
)
+
(
f
″
(
t
)
(
x
−
t
)
−
f
′
(
t
)
)
+
(
f
(
3
)
(
t
)
2
!
(
x
−
t
)
2
−
f
(
2
)
(
t
)
1
!
(
x
−
t
)
)
+
⋯
⋯
+
(
f
(
k
+
1
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
−
f
(
k
)
(
t
)
(
k
−
1
)
!
(
x
−
t
)
k
−
1
)
=
f
(
k
+
1
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
{\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)\\={}&{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\end{aligned}}}
これを(*)に代入して計算すると
R
k
+
1
(
x
)
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
k
!
(
x
−
ξ
)
k
G
(
x
)
−
G
(
a
)
G
′
(
ξ
)
{\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}
ここで
G
(
t
)
=
(
t
−
x
)
k
+
1
{\displaystyle G(t)=(t-x)^{k+1}}
G
(
t
)
=
t
−
a
{\displaystyle G(t)=t-a}
簡単のために a < x f (k ) が閉区間 [a , x ] で絶対連続 であることから、その導関数 f (k +1) が L 1 -関数部分積分 を繰り返し用いると
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
=
f
(
a
)
−
[
(
x
−
t
)
f
′
(
t
)
]
a
x
+
∫
a
x
(
x
−
t
)
f
″
(
t
)
d
t
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
f
′
(
a
)
+
∫
a
x
(
x
−
t
)
f
″
(
t
)
d
t
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
f
′
(
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
2
f
″
(
a
)
+
∫
a
x
1
2
(
x
−
t
)
2
f
‴
(
t
)
d
t
=
…
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
∫
a
x
f
(
k
+
1
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt\\&=f(a)-{\Big [}(x-t)f'(t){\Big ]}_{a}^{x}+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{2}f''(a)+\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}(x-t)^{2}f'''(t)\,dt\\&=\dots \\&=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt\end{aligned}}}
最後の項
R
k
+
1
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
k
+
1
)
(
t
)
k
!
(
x
−
t
)
k
d
t
{\displaystyle R_{k+1}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt}
↑ Kline 1972 , pp. 442, 464 ↑ Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , (N. 67, p.XVII-XIX): Fratelli Bocca ed. ↑ Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 ↑ “Taylor formula” , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]↑ Kline 1998 , §20.3; Apostol 1967 , §7.7.↑ Apostol 1967 , §7.7.↑ Apostol 1967 , §7.5.↑ Apostol 1967 , §7.6 ↑ このことは、関数 f の偏導関数が a a a Apostol 1974 , Theorem 12.11 . ↑ Königsberger Analysis 2, po. 64ff.
ハイラー, E.、ヴァンナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程 』 下、丸善出版、2012年。ISBN 978-4-621-06190-9 。https://books.google.co.jp/books?id=zML3A8iCmeUC&pg=PA98 。 杉浦, 光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5 Apostol, Tom (1967), Calculus , Wiley, ISBN 0-471-00005-1 Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis , Addison–Wesley Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6 Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6 Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2 , Oxford University Press Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis , Springer, ISBN 0-387-94108-8 Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis , Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2 Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P_{k}(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)(x-a)^{k}}}=\cdots =\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)^{k-1}(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)^{k-1}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}\left[{\frac {f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(a)}{x-a}}-f^{(k)}(a)\right]\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2740b27b1c8fc1fb4c05d9fe15412f4ebb2aa6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt\\&=f(a)-{\Big [}(x-t)f'(t){\Big ]}_{a}^{x}+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}(x-t)f''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{2}f''(a)+\int _{a}^{x}{\frac {1}{2}}(x-t)^{2}f'''(t)\,dt\\&=\dots \\&=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e0d9aa4d8dea863dffa9808e9dbef674178697)
