偏微分方程式

偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。偏微分方程式の厳密解を明示的な公式として得ることは、限られた場合を除いて困難である。そのため、解の存在性や一意性、正則性といった定性的な性質を研究する理論的アプローチ、近似的な解析解を求める摂動論や漸近解析、そしてコンピュータを使用して解を数値的に近似する手法が、それぞれ重要な役割を果たしている。偏微分方程式は純粋数学の研究においても大きな分野を占めており、そこでは存在性、一意性、正則性、安定性といった、様々な偏微分方程式の解の定性的な特徴に焦点が当てられている。数多くの未解決問題の中には、2000年にミレニアム懸賞問題の一つとして挙げられた、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさがある。

偏微分方程式は、物理学や工学といった数学指向の科学分野で広く現れる。例えば、音、熱、拡散、静電気学、電磁気学、熱力学、流体力学、弾性、一般相対性理論、量子力学（シュレーディンガー方程式、パウリ方程式など）の現代的な科学的理解において、偏微分方程式は基礎となっている。また、微分幾何学や変分法などの純粋な数学的考察からも発生する。特筆すべき応用として、幾何学的トポロジーにおけるポアンカレ予想の証明において基本的な道具となったことが挙げられる。現代では、画像処理、コンピュータビジョン、機械学習、金融工学などの分野でも偏微分方程式が重要な役割を果たしている。

このような発生源の多様性もあり、偏微分方程式の種類は広範囲にわたる。個々の方程式を扱うために、多くの異なる手法が開発されてきた。そのため、偏微分方程式の「万能な理論」は存在せず、専門知識はいくつかの異なる下位分野に分かれている。

常微分方程式は、一変数関数に対応する偏微分方程式のサブクラスと見なすことができる。確率偏微分方程式や非局所方程式は、「PDE」の概念を拡張したものであり、広く研究されている。より古典的なトピックとして、現在も活発な研究が行われているものには、楕円型偏微分方程式、放物型偏微分方程式、流体力学におけるナビエ–ストークス方程式、ボルツマン方程式、分散型偏微分方程式などがある。

歴史

偏微分方程式 (PDE) の歴史は、物理現象を数学的に記述しようとする試みと、それに伴う解析学の基礎概念（関数、微分、積分）の確立と密接に関わって発展してきた。

18世紀：

偏微分方程式の研究は、1740年代にニュートン力学を連続体へと拡張する過程で本格化した。中心となったのは「弦の振動」の問題である。ジャン・ル・ロン・ダランベールは1747年に一次元波動方程式を見出し、その一般解（ダランベールの解）を示した。直後にレオンハルト・オイラーやダニエル・ベルヌーイもこの問題に取り組み、解の表現（進行波による表現か、三角関数の重ね合わせか）を巡って論争が起きた。この論争は、当時の「関数」の定義（滑らかな曲線のみを指すのか、角を持つ折れ線も許容するのか）を再考させる契機となった。

また、流体力学や重力ポテンシャルの研究において、ピエール＝シモン・ラプラスはラプラス方程式を定式化し、これが楕円型偏微分方程式の原型となった。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらは一階偏微分方程式の一般論を整備した。

19世紀：熱伝導とフーリエ解析

19世紀に入ると、ジョゼフ・フーリエによる熱伝導方程式の研究（1822年）が大きな転換点をもたらした。フーリエは、任意の関数を三角関数の級数（フーリエ級数）で表現できると主張し、これにより偏微分方程式を変数分離法で解く道が開かれた。これは同時に、不連続な関数を含む広範な対象を扱うための厳密な解析学（イプシロン-デルタ論法など）の整備を、ベルンハルト・リーマンやカール・ワイエルシュトラスらに促すこととなった。

19世紀後半には、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとソフィア・コワレフスカヤによって解の局所的な存在定理（コーシー＝コワレフスカヤの定理）が証明されたほか、ジョージ・グリーン、ガウス、ディリクレらによって、境界値問題（ポテンシャル論）の手法が飛躍的に発展した。

20世紀：現代理論の確立

20世紀初頭、ダフィット・ヒルベルトはヒルベルトの23の問題において、偏微分方程式の解の滑らかさや存在条件を主要な未解決問題として挙げた。これに応える形で、偏微分方程式論は「解を見つける」ことから「関数空間の構造を調べる」方向へと大きくシフトした。

古典的な微分が定義できないような現象（衝撃波など）や、不連続な境界値を持つ問題を扱うために、解の概念そのものを拡張する必要が生じた。1930年代以降、セルゲイ・ソボレフによるソボレフ空間の導入や、ローラン・シュヴァルツによる超関数（ディストリビューション）の理論により、「弱解」という概念が確立された。これにより、偏微分方程式は関数解析学の枠組みで統一的に扱われるようになり、現代の線形および非線形偏微分方程式の理論的基礎が完成した。

定義

偏微分方程式とは、$n\geq 2$ 個の変数の未知関数とその偏微分を含む方程式である。方程式に含まれる導関数のうち、最高の階数をその偏微分方程式の階数 (order) と呼ぶ。例えば、二階導関数を含み、三階以上の導関数を含まないものは二階偏微分方程式となる。

$\mathbb {R} ^{n}$ の開集合 $U$ に属する変数 $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ の未知関数 $$u:U\rightarrow \mathbb {R} ,$$ に対して、一般に $k$階の偏微分方程式は以下のように記述される。 $$F(x,u,Du,D^{2}u,\ldots ,D^{k}u)=0,$$ ここで、$F$ は適当な領域から $\mathbb {R}$ への関数であり、$u$ の $k$ 階までの全ての偏微分、$u$ 自身、および独立変数 $x$ を変数とする。$D^{j}u$ は $j$ 階の偏微分の全体を表す。

未知関数がベクトル値をとる場合、すなわち $u:U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ の場合には、偏微分方程式は方程式系となり、$F$ は $\mathbb {R} ^{m}$ 値関数となる。このような方程式系は流体力学や電磁気学などで自然に現れる。

記法

→詳細は「微分 § 偏微分」を参照

PDEを書く際、偏微分を下付き文字で表すことが一般的である。例えば： $$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$$ u が n 変数の関数である一般的な状況では、u_i または u_xi は i 番目の独立変数 x_i に関する一階偏微分を表し、u_ij は二階偏微分を表す。なお、未知関数がベクトル値をとる場合の成分表示と混同を避けるため、添字の前にカンマを打つ、あるいは変数を明示する記法も用いられる。

ギリシャ文字 Δ はラプラス作用素を表す。もし u が n 変数の関数であれば、以下のようになる。 $$\Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.$$ 物理学の文献では、ラプラス作用素はしばしば $\nabla ^{2}$ で表される。数学の文献でもこの記法は用いられるが、多変数関数の二階導関数全体を指すヘッセ行列（$D^{2}u$ または $\mathbf {H} (u)$ と記される）との混同を避けるため、$\Delta$ が好まれる傾向にある。

分類

線形および非線形方程式

PDEは、未知数とその微分に関して線形である場合、線形と呼ばれる。例えば、x と y の関数 u に対して、二階線形PDEは以下の形式をとる。 $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)$$ ここで a_i と f は独立変数 x と y のみの関数である。（多くの場合、混合偏微分 u_xy と u_yx は等置されるが、これは線形性の議論には必須ではない。） もし a_i が定数（x と y に依存しない）であれば、そのPDEは定数係数線形と呼ばれる。もし f がどこでもゼロであれば、その線形PDEは斉次であり、そうでなければ非斉次である。（これは、PDEの解に対する高周波振動の影響を研究する漸近的均質化とは別のものである。）

線形PDEに最も近いのが半線形 (semi-linear) PDEであり、最高階微分のみが線形項として現れ、その係数は独立変数の関数である。低階の微分と未知関数は任意に現れてよい。例えば、2変数の一般的な二階半線形PDEは以下のようになる。 $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

準線形 (quasilinear) PDEでは、同様に最高階微分は線形項としてのみ現れるが、係数は未知数および低階微分の関数であってもよい。 $$a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$ 物理学における基本的なPDEの多くは準線形である。例えば、一般相対性理論のアインシュタイン方程式や、流体運動を記述するナビエ–ストークス方程式などが挙げられる。

線形性の性質を持たないPDEは完全非線形 (fully nonlinear) と呼ばれ、最高階微分の1つ以上に非線形性を持つ。例として、微分幾何学で現れるモンジュ＝アンペール方程式がある。

一般に非線形な偏微分方程式として重要なものに、

• 流体を記述するナビエ-ストークス方程式
• 一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式
• 非線形波動を記述するKdV方程式・mKdV方程式 (これらの方程式は可積分系でも研究されている)
• クレローの方程式
• 非線形シュレディンガー方程式

などがある。

二階方程式

u_xy = u_yx を仮定すると、2つの独立変数を持つ一般的な線形二階偏微分方程式は以下の形式を持つ。

$$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0,$$ ここで係数 A, B, C... は x と y に依存してもよい。xy 平面のある領域上で A² + B² + C² > 0 であれば、PDEはその領域で二階である。この形式は円錐曲線の式に類似している。 $$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$$

より正確には、∂_x を X に置き換え、他の変数についても同様にすることで（形式的にはフーリエ変換によって行われる）、定数係数PDEを同次数の多項式に変換でき、最高次数の項（斉次多項式、ここでは二次形式）が分類にとって最も重要となる。

円錐曲線と二次形式を判別式 B² − 4AC に基づいて放物型、双曲型、楕円型に分類するのと同様に、与えられた点における二階PDEについても同じことができる。ただし、PDEの判別式は、xy の項が B ではなく 2B という慣例のため、B² − AC で与えられる。形式的には、（関連する二次形式の）判別式は (2B)² − 4AC = 4(B² − AC) であるが、単純化のために係数4は落とされる。

1. B² − AC < 0 (楕円型偏微分方程式): 楕円型PDEの解は、方程式と解が定義されている領域の内部において、係数が許す限り滑らかである。代表的な例としてラプラス方程式がある。例えば、ラプラス方程式の解は定義されている領域内で解析的であるが、境界値は滑らかでない場合がある。物理的な例として、定常な亜音速流の支配方程式は楕円型となる。例えば、オイラー＝トリコミ方程式（$u_{xx}=xu_{yy}$）は、x < 0 の領域において楕円型である。定数係数の楕円型方程式の場合、適切な変数変換により、方程式を次の標準形で表現できる：$$u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,$$ ここで x と y は変換後の変数に対応する。これは、ラプラス方程式がこのタイプの例であることを裏付けている。

1. B² − AC = 0 (放物型偏微分方程式): すべての点で放物型である方程式は、独立変数の変換によって熱方程式に類似した形式に変換できる。解は変換された時間変数の増加とともに滑らかになる。オイラー＝トリコミ方程式は x = 0 の直線上で放物型である。定数係数の放物型方程式の場合、適切な変数変換により、方程式を次の標準形で表現できる：$$u_{t}-u_{xx}+\cdots =0,$$ ここで t は時間変数、x は空間変数に対応する。これは熱方程式がこのタイプの例であることを示している。

1. B² − AC > 0 (双曲型偏微分方程式): 双曲型方程式は、初期データにおける関数や微分の不連続性を保持する。例として波動方程式がある。超音速での流体の運動は双曲型PDEで近似でき、オイラー＝トリコミ方程式は x > 0 において双曲型である。変数変換により、方程式は常に次の形式で表現できる：$$u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,$$ ここで x と y は変換後の変数に対応する。これは、波動方程式がこのタイプの例であることを正当化する。

n 個の独立変数 x₁, x₂ , …, x_n がある場合、一般的な二階線形偏微分方程式は以下の形式を持つ。 $$Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0.$$

分類は係数行列 a_i,j の固有値の符号（シグネチャ）に依存する。

1. 楕円型: 固有値がすべて正、またはすべて負。
2. 放物型: 固有値がすべて正、またはすべて負だが、1つだけゼロがある。
3. 双曲型: 負の固有値が1つだけで残りがすべて正、または正の固有値が1つだけで残りがすべて負。
4. 超双曲型 (Ultrahyperbolic): 正の固有値が複数かつ負の固有値が複数あり、ゼロ固有値がない。

楕円型、放物型、双曲型方程式の理論は、主にラプラス方程式、熱方程式、波動方程式という標準的な例を中心に、あるいはそれらに基づいて、何世紀にもわたって研究されてきた。

二階偏微分方程式の楕円型・放物型・双曲型の分類は、PDEの理論と応用において極めて重要である。この分類は、解の定性的な性質、適切な初期条件および境界条件の設定、数値解法の選択、そして解の滑らかさや伝播特性に関する指針を与える。楕円型方程式は通常境界値問題として定式化され、放物型および双曲型方程式は初期値問題または初期境界値問題として扱われる。また、この分類は解の情報伝播の仕方とも密接に関連しており、双曲型では有限速度での伝播、放物型では無限速度での伝播、楕円型では瞬時の影響が特徴的である。

しかし、この分類は二階項の線形性にのみ依存するため、半線形および準線形PDEにも適用可能である。基本的なタイプは、領域によって楕円型から双曲型に変化するオイラー＝トリコミ方程式のような混合型や、高階PDEにも拡張される。

これらの方程式の型は、適切な問題設定（境界条件や初期条件）と密接に関係している。一般に、楕円型方程式は境界値問題として定式化され、領域の境界上で未知関数や微分に関する条件を与えることで領域内部の解が一意に定まることが多い。一方、放物型および双曲型方程式は、時間発展を記述するため、初期値問題または初期境界値問題として扱われるのが通常である。

一階方程式系と特性曲面

→「一階偏微分方程式」も参照

偏微分方程式の分類は一階方程式系にも拡張できる。ここで未知数 u は m 個の成分を持つベクトルであり、係数行列 A_ν は ν = 1, 2, …, n に対して m × m 行列である。偏微分方程式は以下の形式をとる。 $$Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,$$ ここで係数行列 A_ν とベクトル B は x と u に依存してもよい。もし超曲面 S が陰関数形式 $$\varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$$ で与えられ、φ が非ゼロの勾配を持つとき、特性形式 (characteristic form) が消えるならば、S は与えられた点における作用素 L の特性曲面 (characteristic surface) である。 $$Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.$$

この条件の幾何学的解釈は以下の通りである。S 上で u のデータが規定されている場合、微分方程式から S 上の u の法線微分を決定できる可能性がある。もし S 上のデータと微分方程式が S 上の u の法線微分を決定する場合、S は非特性的である。もし S 上のデータと微分方程式が S 上の u の法線微分を決定しない場合、その曲面は特性的であり、微分方程式は S 上のデータを制限する。すなわち、微分方程式は S に「内在的」である。

1. 一階方程式系 Lu = 0 は、L に対して特性的な曲面が存在しない場合、楕円型である。S 上の u の値と微分方程式は、常に S 上の u の法線微分を決定する。

1. 一階方程式系は、ある点において法線 ξ を持つ空間的 (spacelike) 曲面 S が存在する場合、その点で双曲型である。これは、ξ に直交する任意の非自明なベクトル η とスカラー乗数 λ に対して、方程式 Q(λξ + η) = 0 が m 個の実根 λ₁, λ₂, …, λ_m を持つことを意味する。これらの根が常に異なる場合、システムは狭義双曲型である。この条件は幾何学的には以下のように解釈される。特性形式 Q(ζ) = 0 は、ζ 空間において原点を頂点とする錐体（法線錐）を定義する。双曲型の場合、この法線錐は実数領域に非自明な解を持ち、時間的な方向軸はこの錐体の内側を通る。一方、楕円型の場合、特性形式 Q(ζ) = 0 を満たす実ベクトル ζ ≠ 0 は存在せず（法線錐が一点に縮退する、あるいは虚の方向にしか存在しない）、したがって実特性曲面を持たない。

境界条件と初期条件

偏微分方程式の一般解は通常、任意関数を含むため、特定の物理現象を一意に記述するには、方程式本体に加えて適切な付加条件が必要となる。これらの方程式と条件の組み合わせが、解の存在性と一意性が保証された良設定問題を構成する。

初期条件

時間発展を含む問題（放物型や双曲型）において、解析を開始する時刻（通常は t = 0）における未知関数の状態を指定する条件。

境界条件

解析領域の境界における振る舞いを規定する条件であり、主に以下の3種類がある。

• ディリクレ境界条件：境界上での未知関数の値を直接指定する（例：境界の温度を固定する）。
• ノイマン境界条件：境界上での法線方向の微分値を指定する（例：境界を通る熱流束や流体の流入量を指定する）。
• ロビン境界条件：未知関数とその微分の線形結合を指定する（例：境界での熱伝達・対流を考慮する）。

数学的基礎と理論的研究

純粋数学において、PDEの理論的研究は、解の公式を見つけることよりも解が存在するための基準や解の性質に焦点を当てられる。

良設定性

→詳細は「良設定問題」を参照

良設定性 (well-posedness) とは、アダマールによって提唱された、偏微分方程式の問題設定が物理的・数学的に適切であることを示す概念である。問題が良設定であるためには、以下の条件を満たす必要がある。

1. 解の存在性：与えられたデータ（初期条件や境界条件）に対し、少なくとも一つの解が存在する。
2. 解の一意性：解が存在する場合、それはただ一つである。
3. 解の連続依存性（安定性）：入力データを連続的に変化させたとき、対応する解も連続的に変化する。

偏微分方程式においてこれらの条件を確認することは、常微分方程式 (ODE) よりもはるかに困難かつ重要である。ODEの一般解が有限個の任意定数（パラメータ）を含むのに対し、PDEの一般解は任意関数を含むためである。

例えば、2変数関数 $v(x,y)$ に対する単純な方程式 $v_{xy}=0$ の一般解は、任意の1変数関数 $f,g$ を用いて $v(x,y)=f(x)+g(y)$ と表される。このように無数の解が存在するため、特定の解を定めるには定義域全体を含めた適切な条件設定が不可欠である。

方程式の型によって、解の一意性を保証するために必要な条件は異なる。以下にその著しい対比を示す。

• 楕円型（ラプラス方程式）: 単位円盤 $B$ 上の問題 $u_{xx}+u_{yy}=0$ では、境界である単位円周上で未知関数 $u$ の値を与える（ディリクレ問題）ことで、内部の解がただ一つに定まる。
• 双曲型（波動方程式の類似）: 領域 $\mathbb {R} \times (-1,1)$ 上の問題 $u_{xx}-u_{yy}=0$ では、ある時刻（例えば $y=0$）における関数値とその微分値（初期条件）を与えることで解が一意に定まる。

さらに、非線形方程式ではより複雑な現象が起こりうる。例えば、微分幾何学に由来するベルンシュタインの問題（極小曲面方程式）は、 $${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {u_{x}}{\sqrt {1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {u_{y}}{\sqrt {1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}}=0$$ という非線形方程式であるが、全平面 $\mathbb {R} ^{2}$ で定義された解は、$u(x,y)=ax+by+c$ という1次式に限られる（ベルンシュタインの定理）。これは、任意関数を含む一般解を持つ線形方程式とは対照的な性質である。

弱解

→詳細は「弱解」を参照

弱解 (weak solution) は、PDEを満たすが、通常の古典的な意味（すべての微分が通常の意味で存在し連続である）とは異なる意味で満たす関数のことである。弱解の概念は、古典解が存在しない場合や、不連続性を持つ解を扱う際に特に重要となる。この用語の意味は文脈によって異なる場合があるが、最も一般的に使用される定義の一つは、超関数 (distribution) の概念とソボレフ空間に基づいている。ソボレフ空間とは、関数とその弱微分が可積分であることを要求する関数空間であり、弱解の理論において中心的な役割を果たす。

弱解の定義の例は以下の通りである。

次で与えられる境界値問題を考える。 $${\begin{aligned}Lu&=f\quad {\text{in }}U,\\u&=0\quad {\text{on }}\partial U,\end{aligned}}$$ ここで $$Lu=-\sum _{i,j}\partial _{j}(a^{ij}\partial _{i}u)+\sum _{i}b^{i}\partial _{i}u+cu$$ は発散形式の二階偏微分作用素を表す。

$u\in H_{0}^{1}(U)$ が弱解であるとは、 すべての $v\in H_{0}^{1}(U)$ に対して $$\int _{U}{\bigg [}\sum _{i,j}a^{ij}(\partial _{i}u)(\partial _{j}v)+\sum _{i}b^{i}(\partial _{i}u)v+cuv{\bigg ]}dx=\int _{U}fvdx$$ が成り立つことである。これは形式的な部分積分によって導出できる。

弱解の例は以下の通りである。 $$\phi (x)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|x|}}$$ は、 $$-\nabla ^{2}\phi =\delta {\text{ in }}\mathbb {R} ^{3}$$ を超関数の意味で満たす弱解である。

なぜなら、形式的に $\int _{\mathbb {R} ^{3}}(-\nabla ^{2}\phi (x))\psi (x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\phi (x)(-\nabla ^{2}\psi (x))dx=\psi (0){\text{ for }}\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})$ となるからである。

ここで $C_{c}^{\infty }(R^{3})$ は、コンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間（テスト関数空間）を表す。

正則性

→詳細は「正則性定理」を参照

正則性 (regularity) は、弱解の可積分性と微分可能性を指し、多くの場合ソボレフ空間によって表現できる。

この問題は、古典解を探すのが難しいために生じる。研究者は、最初は弱解を見つけ、その後、それが古典解としての資格を得るのに十分滑らかであるかどうかを確認する傾向がある。

この研究分野では、関数解析学の結果が頻繁に使用される。

定性理論における重要概念

偏微分方程式の解の振る舞いを調べる上で、以下の概念が重要である。

• 最大値原理：楕円型や放物型方程式の解が、領域の内部で最大値（または最小値）を取らず、必ず境界上で取るという性質。解の一意性や安定性の証明に用いられる。
• エネルギー法：解の「エネルギー」（通常はL2ノルムなど）の物理的な保存則や減衰を数学的に定式化する手法。双曲型方程式の解の評価などに多用される。

代表的な偏微分方程式

偏微分方程式の一般解は、常微分方程式とは異なり、任意定数ではなく任意関数を含むため、無数の解を持つ自由度の高いものである。したがって、物理的あるいは数学的に意味のある特定の解を一意に決定するためには、方程式に加えて適切な境界条件や初期条件を課して定式化する必要がある（良設定問題）。

代表的な境界条件には、境界上で未知関数の値を指定するディリクレ境界条件、境界上での法線方向微分（流束など）を指定するノイマン境界条件、未知関数とその法線微分の線形結合を指定するロビン境界条件などがある。

以下の節では、特別な記述がない限り、変数は時間 t と3次元空間 (x, y, z) とする。ただし、これらの方程式は数学的には一般の次元に拡張できる。

楕円型偏微分方程式

→詳細は「楕円型偏微分方程式」を参照

ラプラス方程式

→詳細は「ラプラス方程式」を参照

楕円型偏微分方程式の典型的な例として、

$\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=0$

で表されるラプラス方程式がある。これはまた、∇（ナブラ）や Δ（ラプラス作用素）といった微分作用素を用いて

${\nabla }^{2}\psi =0,\quad \Delta \psi =0$

のようにも書かれる。ラプラス方程式の解は調和関数と呼ばれ、重力場や静電場といった物理的なベクトル場のポテンシャルを与える。

ポアソン方程式

→詳細は「ポアソン方程式」を参照

ラプラス方程式は既知の関数 f (x, y, z) に関する微分方程式

$\nabla ^{2}\psi =\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=f(x,y,z)$

に一般化される。この偏微分方程式をポアソン方程式という。これは質量の存在する重力場や、電荷の存在する静電場など、場に発生源がある場合のポテンシャルを記述する方程式である。

ヘルムホルツ方程式

→詳細は「ヘルムホルツ方程式」を参照

次の方程式のことをいう。電磁波の放射、地震学、音響学などで用いられる。

$(\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0$

双曲型偏微分方程式

→詳細は「双曲型偏微分方程式」を参照

波動方程式

→詳細は「波動方程式」を参照

波動方程式は時間変数 t を含む双曲型偏微分方程式

$\psi _{tt}=c^{2}\nabla ^{2}\psi =c^{2}(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})$

のことである。この方程式は光波や音波といった波を記述するもので、定数 c は波の速さを示している。より身近な現象として、ひもの振動であるとか太鼓の鼓面の振動などといったものもこの方程式に従う。波動方程式の解は基本的には正弦波を重ね合わせることによって得られる。

移流方程式

→詳細は「移流」を参照

移流方程式（en:Advection）は速度場 u = (u, v, w )のもとでの保存スカラー量ψの輸送を記述するもので、方程式は

$\psi _{t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \psi )=\psi _{t}+(u\psi )_{x}+(v\psi )_{y}+(w\psi )_{z}=0$

であたえられる。もし速度場 u が管状ベクトル場、すなわち ∇・u = 0 ならば方程式は

$\psi _{t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \psi =\psi _{t}+u\psi _{x}+v\psi _{y}+w\psi _{z}=0$

と簡略化される。

一次元線形移流方程式

$\psi _{t}+u\psi _{x}=0$

（u は定数）は、初期波形が速度 u で平行移動する解を持つ基本的な方程式である。

バーガース方程式

→詳細は「バーガース方程式」を参照

次の方程式は、流体力学における非線形性と粘性の相互作用を記述する。

$u_{t}+uu_{x}=\nu u_{xx}$

ここで $\nu$ は粘性係数である。左辺の非線形項（対流項）により衝撃波が形成され、右辺の拡散項により滑らかさが保たれる。非線形波動や乱流の基礎モデルとして重要である。

放物型偏微分方程式

→詳細は「放物型偏微分方程式」を参照

熱方程式・拡散方程式

→詳細は「熱方程式」および「拡散方程式」を参照

熱方程式（または拡散方程式）は、与えられた領域において時間とともに変化する熱や物質の拡散を記述する放物型偏微分方程式の代表例である。

$u_{t}=k\nabla ^{2}\psi =k(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})$

によって与えられる。ここで u は温度場や濃度場を表し、定数 k は熱拡散率や拡散係数を示す。解は時間の経過とともに滑らかになり、空間的に均一な状態へと近づく性質を持つ。定数 k は物質の熱伝導性や拡散係数などを示している。解は時間の増加とともに大体均一に分布するように変化し、t→∞で調和関数に近づく。

その他の重要な方程式

シュレーディンガー方程式

→詳細は「シュレーディンガー方程式」を参照

量子力学の基礎方程式であるシュレーディンガー方程式も重要な偏微分方程式である。時間に依存するシュレーディンガー方程式 $$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$$ は、虚数単位iを含む複素係数の方程式であり、純粋な実係数の二階方程式とは性質が異なる。数学的には分散型偏微分方程式の代表的な例に位置づけられ、解は時間とともに波動的に振る舞い、ノルムを保存する（ユニタリ発展）という性質を持つ。一方、時間に依存しない（定常状態の）シュレーディンガー方程式は楕円型偏微分方程式である。

マクスウェル方程式

→詳細は「マクスウェルの方程式」を参照

電磁気学の基礎となる4つの方程式系である。真空中の電場 $\mathbf {E}$ と磁場 $\mathbf {B}$ に対して以下のように記述される。

${\begin{cases}{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})&=-{\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}{\partial t}}\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {r}})&=\rho (t,{\boldsymbol {r}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {r}})&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {r}})+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {r}})}{\partial t}}\end{aligned}}\end{cases}}$

これは一階の偏微分方程式系であり、電磁波の存在を予言する。

ナビエ–ストークス方程式

→詳細は「ナビエ–ストークス方程式」を参照

流体の運動を記述する非線形偏微分方程式である。非圧縮性粘性流体の場合は次のように書かれる。

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f}$

この方程式は、左辺の非線形項（対流項）のために解析が極めて困難であり、3次元における解の存在と滑らかさはミレニアム懸賞問題の一つとなっている。

アインシュタイン方程式

→詳細は「アインシュタイン方程式」を参照

一般相対性理論において、時空の歪みと物質・エネルギーの分布を関連付ける方程式である。

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

これは計量テンソル $g_{\mu \nu }$ に関する高度に非線形な二階偏微分方程式系であり、宇宙論やブラックホールの研究の基礎となる。

ブラック–ショールズ方程式

→詳細は「ブラック–ショールズ方程式」を参照

金融工学において、オプション価格の理論的な値を算出するための方程式である。

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

この方程式は適切な変数変換によって熱方程式に帰着させることができ、偏微分方程式の理論が社会科学分野へ応用された顕著な例である。

反応拡散方程式

→詳細は「反応拡散系」を参照

化学物質の反応と拡散を記述する方程式系である。

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {R} (\mathbf {u} )$

1952年にアラン・チューリングは、この方程式によって、生物の縞模様や斑点模様（チューリング・パターン）が自己組織的に形成されることを理論的に示した。

KdV方程式とソリトン

→詳細は「KdV方程式」を参照

浅い水域を伝わる波などを記述する非線形偏微分方程式である。

$u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0$

この方程式は、非線形効果と分散効果が釣り合うことで、形を崩さずに一定速度で進む孤立波ソリトンを解として持つ。ソリトン同士は衝突しても互いに形を変えずに通り抜けるという粒子のような性質を持ち、この発見は可積分系という分野を切り拓いた。現代では光ファイバー中の通信パルスの挙動（非線形シュレディンガー方程式による記述）などに応用されている。

主要な方程式と応用分野のまとめ

以下の表に、代表的な偏微分方程式とその主な適用分野を示す。

方程式名	分類	主な応用分野
ラプラス方程式	楕円型	静電位、重力ポテンシャル、定常流
熱方程式	放物型	熱伝導、物質拡散、金融オプション価格
波動方程式	双曲型	音波、光波、地震波、弾性体の振動
ナビエ-ストークス方程式	非線形	流体力学、気象予測、航空機設計
シュレーディンガー方程式	分散型	量子力学、半導体物理、化学反応解析
反応拡散方程式	非線形	生物の形態形成、化学反応のパターン生成

解法

線型偏微分方程式はその解を基底関数系で線型展開したもので近似することにより一般的に解かれる事が多い（たとえば正弦波関数を使ったフーリエ級数展開）。展開した個々の解の線型結合もまた元の方程式の解になる。また線型偏微分方程式が変数分離可能な構造を持つ場合には変数分離法により低い次元の微分方程式の問題に帰着して解くことが できる場合がある。

非線形偏微分方程式に対しては、線形方程式のような統一的な解法理論は存在しない。しかし、方程式の種類に応じて有効な手法が多数開発されている。たとえば、ホモトピー原理は劣決定方程式系を解くための強力な方法であり、ソリトン方程式に対しては広田の方法が標準的な手法として用いられる。また、変分法、リー群の対称性、特性曲線法なども、特定のクラスの非線形方程式に対して有効である。さらに、解の存在性や一意性、正則性に関する理論的研究も活発に行われている。

あるいは偏微分方程式を容易に解ける方程式から変化したものであるとみなせる場合にはその解を摂動的な展開を用いて表すことで近似解が得られる場合がある。またそれ以外に数値的な近似解法として、有限差分スキームや有限要素法などが挙げられる。 具体的な解が必要であるが解析的な手段を用いては解くことのできない多くの科学や工学上の問題は，このような近似手法により離散化された大規模な数値計算の問題に変換され，もっぱらコンピュータを用いた計算により解かれる。境界条件も含めて近似解を表すための自由度は非常に大きいものになることが普通であるので，計算を行うために扱うデータの量や演算の回数の多さから，計算機の性能向上と共に効率的な近似法や数値解法の開発が進められ発展してきた。

解析的手法

線型偏微分方程式は、解を基底関数系の線型結合として表す手法がよく用いられる（たとえば正弦波関数を使ったフーリエ級数展開など）。

変数分離

→詳細は「変数分離」を参照

線形PDEは、変数分離という重要な手法によって常微分方程式系に帰着させることができる。この手法は微分方程式の解の特徴に基づいている。すなわち、方程式を解き、かつ境界条件を満たす解を何か1つ見つけることができれば、それが「唯一の」解である（これはODEにも当てはまる）。解が各独立変数の関数の積（例えば $u(x,t)=X(x)T(t)$）の形で書けると仮定し、元の偏微分方程式を各変数の常微分方程式へと分解する。。

変数分離法では、多変数の偏微分方程式を、より変数の少ない微分方程式（典型的には常微分方程式）の系に帰着させる。これにより、方程式をより容易に解くことが可能となる。

この手法は、変数分離可能な形式の方程式（多くは線形）であり、かつ定義域が直方体（区間の直積）や円、球といった対称性を持つ領域である場合に適用できる。変数分離によって現れる常微分方程式の境界値問題は、多くの場合、微分作用素の固有値問題（スツルム＝リウヴィル型微分方程式など）となり、その固有関数系を用いて解を展開・構成することができる。これは線形代数において、行列を対角化して扱う手法と類似した構造を持つ。

変数分離法は、方程式の型によって適用される文脈が異なる。ラプラス方程式のような楕円型偏微分方程式では、円や矩形などの対称性を持つ領域上の境界値問題を解くために用いられ、動径方向と角度方向などで変数を分離する。一方、熱方程式（放物型）や波動方程式（双曲型）では、時間変数と空間変数を分離することで、空間部分を固有値問題（スツルム＝リウヴィル型微分方程式など）に帰着させ、時間発展を解析する手法として定石となっている。

特性曲線法

→詳細は「特性曲線法」を参照

n = 2 次元空間における特性曲面は、特性曲線と呼ばれる。 特別な場合として、一階PDEがODEに帰着する特性曲線を見つけることができる。定義域の座標を変換してこれらの曲線を直線化することで変数分離が可能になり、これは特性曲線法と呼ばれる。

より一般的に、高次元の一階PDEにこの手法を適用すると、特性曲面を見つけることができる。

積分変換

積分変換は、PDEをより単純なもの、特に変数分離可能なPDEに変換することができる。これは作用素の対角化に対応する。

この重要な例がフーリエ解析であり、正弦波の固有基底を使用して、定数係数の線形偏微分方程式（熱方程式や波動方程式など）を対角化する。

対象とする領域によって手法は使い分けられる。定義域が有限または周期的であれば、解を三角関数の無限和で表すフーリエ級数展開が用いられ、これは変数分離法とも密接に関連する。一方、無限領域上の問題では、フーリエ変換（フーリエ積分）を用いることで、微分演算を代数演算（多項式の掛け算）に変換して解く手法が一般的である。上記の熱方程式の点源に対する解は、フーリエ積分の使用例である。

変数変換

多くの場合、適切な変数変換によって、PDEを既知の解を持つより単純な形式に帰着させることができる。例えば、ブラック–ショールズ方程式 $${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$$ は、次の変数変換によって $${\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}$$ 熱方程式 $${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$ に帰着可能である。

基本解

→詳細は「基本解」を参照

非斉次方程式は、多くの場合（定数係数PDEの場合は常に）、基本解（点源に対する解 $P(D)u=\delta$）を見つけ、非斉次項（線源）との畳み込みをとることによって解くことができる。

特定の境界条件を満たす境界値問題を解く場合、基本解の概念はグリーン関数へと拡張される。グリーン関数は、基本解と同様にデルタ関数に対する応答であるが、領域の境界条件も同時に満たすように構成されたものである。これは信号処理において、フィルタをそのインパルス応答によって理解することに類似している。

重ね合わせの原理

→詳細は「重ね合わせの原理」を参照

重ね合わせの原理は、PDEの線形系を含むあらゆる線形系に適用される。この概念の一般的な可視化は、同位相の2つの波が結合してより大きな振幅になる相互作用である（例：sin x + sin x = 2 sin x）。同じ原理は、解が実数または複素数で加法性を持つPDEでも観察される。u₁ と u₂ がある関数空間 R における線形PDEの解である場合、任意の定数 c₁ および c₂ に対して u = c₁u₁ + c₂u₂ もまた、同じ関数空間におけるそのPDEの解である。

非線形方程式の手法

非線形PDEを解くための一般的に適用可能な解析的手法は存在しない。それでも、存在と一意性の結果（コーシー＝コワレフスカヤの定理など）はしばしば可能であり、解の重要な定性的および定量的性質の証明も可能である（これらの結果を得ることは解析学の主要な部分である）。

それにもかかわらず、いくつかのタイプの方程式には使用できる手法がある。h-原理は、劣決定系方程式を解くための最も強力な手法である。リキエ＝ジャネ理論は、多くの解析的過剰決定系に関する情報を得るための有効な手法である。

特性曲線法は、非線形偏微分方程式を解くために、いくつかの非常に特殊な場合にのみ使用できる。

場合によっては、解を既知の解を持つ方程式への補正とみなす摂動解析によってPDEを解くことができる。代替手段として、単純な有限差分法スキームから、より成熟したマルチグリッド法や有限要素法に至る数値解析技術がある。科学や工学における多くの興味深い問題は、コンピュータ（時には高性能スーパーコンピュータ）を使用してこの方法で解かれている。

リー群法

PDEを解くための一般的なアプローチは、微分方程式の対称性、つまり解から解への連続的な微小変換（リー理論）を利用する。19世紀後半にソフス・リーによって開発されたこの手法は、古典的な積分理論を統一的な枠組みで理解することを可能にした。連続群論、リー代数、微分幾何学は、線形および非線形偏微分方程式の構造を理解し、ラックス対、再帰作用素、ベックルント変換を見つけ、最終的にPDEの厳密な解析解を見つけるために使用される。

対称性手法は、数学、物理学、工学、および他の多くの分野で発生する微分方程式を研究するための強力な道具として認識されている。

半解析的手法

アドミアン分解法、リャプノフの人工小パラメータ法、および彼のホモトピー摂動法は、すべてより一般的なホモトピー解析法の特殊なケースである。これらは級数展開に基づく手法である。リャプノフ法を除き、これらは標準的な摂動論とは異なり微小な物理パラメータの存在を前提としない。そのため、より柔軟で一般性の高い解を導出できるという利点がある。

数値的解法

偏微分方程式の数値解法としては、有限要素法 (FEM)、有限体積法 (FVM)、有限差分法 (FDM) の3つが代表的である。各手法は問題の性質に応じて使い分けられる。例えば、有限要素法は複雑な境界形状を持つ構造解析などに強みを持ち、有限体積法は保存則が重要な流体解析（CFD）の分野で広く普及している。近年では、これらの手法の弱点を補うためにメッシュフリー法などの研究も進められている。

有限要素法

→詳細は「有限要素法」を参照

有限要素法 (FEM)（その実用的な応用は有限要素解析 (FEA) としても知られる）は、偏微分方程式 (PDE) や積分方程式の解を、有限個の関数のセットを使用して近似するための数値技術である。基本的なアプローチは、微分作用素を離散化することで偏微分方程式を代数方程式系に帰着させる（定常問題）か、時間微分のみを残して常微分方程式系に変換し、それをオイラー法やルンゲ＝クッタ法などの標準的な手法で数値積分することに基づいている。

有限差分法

→詳細は「有限差分法」を参照

有限差分法は、有限差分方程式を使用して微分を近似することにより、微分方程式の解を近似する数値手法である。

有限体積法

→詳細は「有限体積法」を参照

有限差分法や有限要素法と同様に、メッシュ化されたジオメトリ上の離散的な場所で値が計算される。「有限体積」とは、メッシュ上の各節点を囲む小さな体積を指す。有限体積法では、発散項を含む偏微分方程式の面積分は、発散定理を使用して体積積分に変換される。これらの項は、各有限体積の表面におけるフラックスとして評価される。与えられた体積に入ってくるフラックスは、隣接する体積から出ていくフラックスと同一であるため、これらの手法は設計上、質量を保存する。

関連項目

• 楕円型偏微分方程式
• 双曲型偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• 常微分方程式
• 積分方程式

関連分野

• 関数解析学
• 偏微分方程式の数値解法 (en)

研究者

日本

• 溝畑茂
• 加藤敏夫
• 藤田宏
• 増田久弥

海外

• ヴォルフガンク・ウォルター
• テレンス・タオ
• ピーター・オルバー (en)

参考文献

和書

• 寺沢寛一『自然科学者のための数学概論』（増訂版）岩波書店、1983年5月18日。ISBN 4-00-005480-5。 
• 溝畑茂『偏微分方程式論』岩波書店、1965年8月25日。ISBN 4-00-005971-8。 
• 熊ノ郷準. (1978). 偏微分方程式. 共立出版.
• K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（上）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-02-X (1991年9月1日).
• K.E.グスタフソン：「応用偏微分方程式：近代的方法への入門」（下）、海外出版貿易（株）、ISBN 4-905557-03-8 (1992年9月1日).
• 金子晃：「偏微分方程式入門」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062903-4　(1998年2月5日)。
• 井川満：「双曲型偏微分方程式と波動現象」、岩波書店、ISBN 4-00-005611-5 (2006年4月5日).
• 村田實、倉田和浩：「楕円型・放物型偏微分方程式」、岩波書店、ISBN 4-00-005650-6 (2006年5月10日).　※ 岩波オンデマンドブックス（2016/12）。
• 田端正久：「偏微分方程式の数値解析」、岩波書店、ISBN 978-4000059794（2010年12月22日).
• スタンリー・ファーロウ(著)、伊理正夫・伊理由美(訳)：「偏微分方程式　科学者・技術者のための使いかたと解き方」、朝倉書店。
• 中村宏樹：「偏微分方程式とフーリエ解析」、東京大学出版会　(東京大学基礎工学双書)。
• W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I上」、産業図書（1978年7月28日）。
• W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 I下」、産業図書（1978年9月1日）。
• W.F.エイムズ：「工学における非線形偏微分方程式 II」、産業図書（1983年）。
• 小薗英雄、小川卓克、三沢正史：「これからの非線形偏微分方程式」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78438-3 (2007年5月20日)。
• 柴田良弘、久保隆徹：「非線形偏微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11771-4 (2012年).

洋書

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics) American Mathematical Society, 2010/04/.
• Dorina Mitrea: Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis (Universitext) , Springer, 2019/01.
• Michael Taylor: Partial Differential Equations I-III (Applied Mathematical Sciences), Springer.
• Egorov, Y. V., & Shubin, M. A. (2013): Foundations of the classical theory of partial differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Egorov, Komech and Shubin : Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations (1999) Springer.
• Sommerfeld, A. (1949): Partial differential equations in physics. en:Academic Press.
• Renardy, M., & Rogers, R. C. (2006): An introduction to partial differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Logan, J. D. (2008): An introduction to nonlinear partial differential equations. John Wiley & Sons.
• Olver, P. J.: Introduction to partial differential equations. Berlin: Springer.
• Fritz Schwarz: Loewy Decomposition of Linear Differential Equations, Springer, ISBN 978-3-7091-1286-1 (2012).

外部リンク

• Partial differential equation - ウェイバックマシン（2008年5月4日アーカイブ分） - スカラーペディア百科事典「偏微分方程式」の項目。