常微分方程式の数値解法

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数値解析において常微分方程式の数値解法 (: Numerical methods for ODEs) は、常微分方程式を数値的に解く技術の総称である[1][2]

数値解法の必要性[編集]

これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの常微分方程式が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、フックス型微分方程式[3][4]などを除いて、手計算だけで厳密に解ける常微分方程式は多くない。そのため多くの研究者たちが常微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた[1][2]。最も標準的な手法はルンゲ・クッタ法であり[1][2][5][A 1]MATLABにはode45として搭載されている。しかしこれは万能なソルバーとは言えない。例えばパンルヴェ方程式[6][7][8]リッカチ方程式[9]などは非線形性によって精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 (幻影解) にたどり着く危険がある。そのため、

などの新しい解法に関する研究が進められている。

解の存在検証[編集]

高精度に解く技術が追求されている一方で、「計算機で解の存在を検証する」という研究もおこなわれている[12]。このような研究が必要となるのは、近似解が求まったとしてもそれが幻影解である危険性があるからである。偏微分方程式ではすでに幻影解が報告されているので[12][B 1][B 2]常微分方程式でも警戒が必要である。偏微分方程式の時と同様に関数解析学的な手法[12][13][14][15]も考えられるが、関数解析学に頼らない手法 (例えば狙い撃ち法スペクトル法英語版en:affine arithmeticなど) に基づく研究が主流であり[12]、欧米などの海外[B 3][B 4][B 5][B 6][B 7][B 8][B 9][B 10][B 11]のみならず日本国内でも研究されている[B 12][B 13][B 14][B 15]。また、爆発解 (: Blow-up solution) に特化した精度保証付き解法も探求されている[B 16][B 17]

解の存在検証・計算機援用証明が行われた方程式[編集]

関連ソフトウェア・ライブラリ[編集]

出典[編集]

  1. ^ a b c d 山本哲朗『数値解析入門』サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版。ISBN 4-7819-1038-6
  2. ^ a b c d 森正武. 数値解析 第2版. 共立出版.
  3. ^ 時弘哲治、工学における特殊関数共立出版
  4. ^ 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会.
  5. ^ 遠藤理平 (2018) ルンゲ・クッタで行こう!―物理シミュレーションを基礎から学ぶ
  6. ^ 岡本和夫. (2009). パンルヴェ方程式. 岩波書店.
  7. ^ 野海正俊. (2000). パンルヴェ方程式-対称性からの入門. すうがくの風景 4. 朝倉書店.
  8. ^ 岡本和夫. (1985). パンルヴェ方程式序説. 上智大学数学講究録, 19.
  9. ^ リッカチのひ・み・つ : 解ける微分方程式の理由を探る. 井ノ口順一著. 日本評論社, 2010.9.
  10. ^ Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
  11. ^ 吉田春夫. (1995). シンプレクティック数値解法 (古典力学の輝き--未解決問題と新しい発見). 数理科学, 33(6), p37-46.
  12. ^ a b c d 精度保証付き数値計算の基礎』大石進一 編著、コロナ社、2018年。
  13. ^ M. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).
  14. ^ 中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.
  15. ^ 中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, サイエンス社.
  16. ^ 大石進一、非線形解析入門、コロナ社。

近似解法に関する論文[編集]

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  3. ^ Al-Mohy, A. H., & Higham, N. J. (2011). Computing the action of the matrix exponential, with an application to exponential integrators. en:SIAM journal on scientific computing, 33(2), 488-511.
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  5. ^ Kirpekar, S. (2003). Implementation of the Bulirsch Stoer extrapolation method. Department of Mechanical Engineering, UC Berkeley/California.
  6. ^ Symplectic integrators: An introduction, American Journal of Physics 73, 938 (2005); https://doi.org/10.1119/1.2034523 Denis Donnelly.
  7. ^ Y. B. Suris, Hamiltonian Runge-Kutta type methods and their variational formulation (1990) Matematicheskoe modelirovanie, 2(4), 78-87.
  8. ^ Iserles, A., & Quispel, G. R. W. (2016). Why geometric integration?. arXiv preprint arXiv:1602.07755.
  9. ^ 平山弘, 小宮聖司, & 佐藤創太郎. (2002). Taylor 級数法による常微分方程式の解法. 日本応用数理学会論文誌, 12(1), 1-8.
  10. ^ 平山弘. (2013). Taylor 展開法による常微分方程式の高次並列計算. 研究報告ハイパフォーマンスコンピューティング (HPC), 2013(3), 1-6.
  11. ^ 平山弘, & 佐藤創太郎. (2002). 遅延微分方程式の級数による解法 (Computer Algebra: Algorithms, Implementations and Applications).
  12. ^ Hirayama, H. (2002). Solution of ordinary differential equations by Taylor series method. JSIAM, 12, 1-8.
  13. ^ Hirayama, H. (2015). Performance of a Higher-Order Numerical Method for Solving Ordinary Differential Equations by Taylor Series. In Integral Methods in Science and Engineering (pp. 321-328). Birkhäuser, Cham.

精度保証・計算機援用証明に関する論文[編集]

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  2. ^ Gidas, B., Ni, W. M., & Nirenberg, L. (1979). "Symmetry and related properties via the maximum principle." Communications in Mathematical Physics, 68(3), 209–243.
  3. ^ a b c Lohner,R.J.,Enclosing the Solution of Ordinary lnitial and Boundary Value Problems, Computer arithmetic:Scientific Computation and Programming Languages,Kaucher,E.,Kulisch,U., Ullrich,Ch.(eds.), B.G.Teubner,Stuttgart (1987), 255−286.
  4. ^ Rihm, R. (1994). Interval methods for initial value problems in ODEs. Topics in Validated Computations, 173-207.
  5. ^ Hungria, A., Lessard, J. P., & Mireles-James, J. D. (2014). Radii polynomial approach for analytic solutions of differential equations: Theory, examples, and comparisons. Math. Comp.
  6. ^ Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Pryce, J. D. (2001). An effective high-order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE. Reliable Computing, 7(6), 449-465.
  7. ^ Corliss, G. F. (1989). Survey of interval algorithms for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 31, 112-120.
  8. ^ Nedialkov, N. S. (2000). Computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation (Ph.D. thesis). University of Toronto.
  9. ^ Eijgenraam, P. (1981). The solution of initial value problems using interval arithmetic: formulation and analysis of an algorithm. MC Tracts.
  10. ^ Nedialkov, N. S., & Jackson, K. R. (1999). An interval Hermite-Obreschkoff method for computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation. Reliable Computing, 5(3), 289-310.
  11. ^ Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Corliss, G. F. (1999). Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 105(1), 21-68.
  12. ^ Berz, M., & Makino, K. (1998). Verified integration of ODEs and flows using differential algebraic methods on high-order Taylor models. Reliable computing, 4(4), 361-369.
  13. ^ 柏木啓一郎, & 柏木雅英. (2011). 平均値形式とアフィン演算を用いた常微分方程式の精度保証法. 日本応用数理学会論文誌, 21(1), 37-58.
  14. ^ Kashiwagi, M. (1995). Numerical Validation for Ordinary Differential Equations using Power Series Arithmetic. In Numerical Analysis Of Ordinary Differential Equations And Its Applications (pp. 213-218).
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  21. ^ Mischaikow, K., Mrozek, M., & Szymczak, A. (2001). Chaos in the lorenz equations: A computer assisted proof part iii: Classical parameter values. Journal of Differential Equations, 169(1), 17-56.
  22. ^ Galias, Z., & Zgliczyński, P. (1998). Computer assisted proof of chaos in the Lorenz equations. Physica D: Nonlinear Phenomena, 115(3-4), 165-188.
  23. ^ Tucker, W. (1999). The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197-1202.
  24. ^ Zgliczynski, P. (1997). Computer assisted proof of chaos in the Rössler equations and in the Hénon map. Nonlinearity, 10(1), 243.
  25. ^ 大石進一. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証. 電子情報通信学会技術研究報告. CAS, 回路とシステム, 93(102), 91-96.
  26. ^ 大石進一. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証 (常微分方程式系の数値解析とその周辺). 京都大学数理解析研究所講究録.
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  28. ^ Berz, M., Makino, K., Shamseddine, K., Hoffstätter, G. H., & Wan, W. (1996). 32. COSY INFINITY and Its Applications in Nonlinear Dynamics.
  29. ^ S.M. Rump: INTLAB - INTerval LABoratory. In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable Computing, pages 77-104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.
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参考文献[編集]

和書[編集]

洋書[編集]

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  • Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. en:Cambridge university press.
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, 978-3-540-56670-0. (日本語版が丸善出版から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
  • Wanner, G. & Hairer, E. (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems (2nd ed.). Springer Berlin Heidelberg. (日本語版が丸善出版から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
  • Butcher, John C. (2008), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 978-0-470-72335-7.
  • John D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. 0-471-92990-5.
  • Deuflhard, P., & Bornemann, F. (2012). Scientific computing with ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
  • Shampine, L. F. (2018). Numerical solution of ordinary differential equations. Routledge.
  • Dormand, John R. (1996), Numerical Methods for Differential Equations: A Computational Approach, Boca Raton: en:CRC Press.

微分代数方程式の数値解法[編集]

  • Brenan, K. E., Campbell, S. L., & Petzold, L. R. (1996). Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations. SIAM.
  • Hairer, E., Lubich, C., & Roche, M. (2006). The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Springer.
  • Kunkel, P., & Mehrmann, V. (2006). Differential-algebraic equations: analysis and numerical solution. European Mathematical Society.
  • Marz, R. (1992). Numerical methods for differential algebraic equations. en:Acta Numerica, 1, 141-198.

遅延微分方程式の数値解法[編集]

  • Bellen, A., & Zennaro, M. (2013). Numerical methods for delay differential equations. en:Oxford university press.
  • Zennaro, M. (1995). Delay differential equations: theory and numerics. Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, 291-333.

外部リンク[編集]

解説記事[編集]

近似解法[編集]

精度保証[編集]

研究集会[編集]

ソフトウェア[編集]