積分方程式

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積分方程式(せきぶんほうていしき、Integral equation)は、数学において、未知の関数積分の中に現れるような方程式である[1][2][3][4][5][6]。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある[1][2]

積分方程式は次の3種類の分類方法がある[1][2][3]。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

  1. 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる[7][8]
  2. 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ[3]、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる[3]
  3. 既知の関数 f (下記参照)が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式(同次・非同次方程式をまとめた)の例として以下のように書ける。 ただし は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式:
第二種フレドホルム積分方程式:
第一種ヴォルテラ積分方程式:
第二種ヴォルテラ積分方程式:

積分方程式は多くの応用において重要である[1][2][3][4][5][6]。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

固有値問題の一般化としての積分方程式[編集]

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 を行列、 を固有ベクトル、 を対応する固有値として、

と書くことができる。

添字 を連続変数 で置き換えて連続極限を取ると、 に関する総和は に関する積分、行列 とベクトル はそれぞれ積分核 固有関数 に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

が得られる。

一般に、超関数であってもよい。超関数 でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

出典[編集]

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  1. ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Integral Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html
  2. ^ a b c d Integral equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_equation&oldid=30324
  3. ^ a b c d e Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: en:Academic Press, 1985.
  4. ^ a b Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964.
  5. ^ a b Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1990.
  6. ^ a b Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1991.
  7. ^ Burton, T. A. (2005). Volterra integral and differential equations. Elsevier.
  8. ^ Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations. en:Cambridge University Press.

参考文献[編集]

和書[編集]

洋書[編集]

  • Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. en:CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
  • M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971.
  • Smithies, F. (1958). Integral equations. Cambridge: en:Cambridge University Press.
  • Wazwaz, A. M. (2011). Linear and nonlinear integral equations. Berlin: Springer.
  • Kondo, J. Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1992.

非線型積分方程式[編集]

  • Davis, H. T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. New York: Dover, 1962.
  • Precup, R. (2013). Methods in nonlinear integral equations. Springer Science & Business Media.

線型積分方程式[編集]

  • Kress, R. Linear Integral Equations. New York: Springer-Verlag, 1989.
  • Lovitt, W. V. Linear Integral Equations. New York: Dover, 1950.
  • Mikhlin, S. G. Linear Integral Equations. New York: Gordon & Breach, 1961.

積分方程式に対する数値解析[編集]

  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: en:Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
  • Delves, L. M., & Mohamed, J. L. (1988). Computational methods for integral equations. CUP Archive.
  • Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1977.
  • R.S. Anderssen, "The application and numerical solution of integral equations", Sijthoff & Noordhoff (1980)

関連項目[編集]