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漸化式による積分 （ぜんかしきによるせきぶん、Integration by reduction formulae ）は、漸化式 による積分の計算方法である。この方法は、整数 のパラメータ を含む数式 （初等関数のべき乗や、超越関数 と任意次数 の多項式 の積が好例）が直接積分できない場合に使われる。
積分漸化式は、置換積分 、部分積分 、三角置換 （英語版 ） 部分分数分解 による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。基本的なアイデアは、整数パラメータ（例えばべき指数）を含む関数の積分（In ）を、より低い値のパラメータ（低次のべき指数など）を含む積分（I n -1I n -2漸化式 として表される。すなわち、積分漸化式とは積分
I
n
=
∫
f
(
x
,
n
)
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x}
を
I
k
=
∫
f
(
x
,
k
)
d
x
{\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x}
を用いて表すことである。ここで
k
<
n
{\displaystyle k<n}
である。
積分In を計算するには、含まれている整数パラメータをn として、漸化式を使用してまず (n – 1) や (n – 2) を含む積分で表す。それを積分が実際に計算できるところまで（通常は指数が０か１になるまで）繰り返す。その後、漸化式を逆にたどりながら、低い指数の積分を代入することでより高い指数の積分を求めていく[ 1]
計算手順の例を示す。
以下の積分は、漸化式により計算できる。
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\,\!}
n = 1, 2 ... 30のときの
∫
cos
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!}
初めに、In を以下のように定義する。
I
n
=
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\,\!}
In は以下のように書き換えられる。
I
n
=
∫
cos
n
−
1
x
cos
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x\,\!}
以下のように置換積分を行う。
cos
x
d
x
=
d
(
sin
x
)
{\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x)\,\!}
I
n
=
∫
cos
n
−
1
x
d
(
sin
x
)
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!}
さらに部分積分を行う。
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
(
cos
n
−
1
x
)
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
sin
x
cos
n
−
2
x
sin
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
sin
2
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
(
1
−
cos
2
x
)
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
∫
cos
n
−
2
x
d
x
−
(
n
−
1
)
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
−
(
n
−
1
)
I
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\end{aligned}}\,}
In について解くと
I
n
+
(
n
−
1
)
I
n
=
cos
n
−
1
x
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2}\,}
n
I
n
=
cos
n
−
1
(
x
)
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2}\,}
I
n
=
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
+
n
−
1
n
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\,}
これにより漸化式は
∫
cos
n
x
d
x
=
1
n
cos
n
−
1
x
sin
x
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x\!}
となる。例としてn = 5の場合、以下のように計算できる。
I
5
=
∫
cos
5
x
d
x
{\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x\,\!}
低い次数のIn を計算する。
n
=
5
,
I
5
=
1
5
cos
4
x
sin
x
+
4
5
I
3
{\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3}\,}
n
=
3
,
I
3
=
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
I
1
{\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1}\,}
逆代入すると、
∵
I
1
=
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
1
{\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1}\,}
∴
I
3
=
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
sin
x
+
C
2
,
C
2
=
2
3
C
1
{\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1}\,}
となり、最終的にI5 は以下のように計算される。
I
5
=
1
5
cos
4
x
sin
x
+
4
5
[
1
3
cos
2
x
sin
x
+
2
3
sin
x
]
+
C
{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C\,}
C は定数である。
積分漸化式が適用できる別の典型例として、以下のような積分がある。
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
初めに、In を以下のように定義する。
I
n
=
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
以下のように置換積分を行う。
x
n
d
x
=
d
(
x
n
+
1
)
n
+
1
{\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}}\,\!}
I
n
=
1
n
+
1
∫
e
a
x
d
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})\!}
次に部分積分を行う。
∫
e
a
x
d
(
x
n
+
1
)
=
x
n
+
1
e
a
x
−
∫
x
n
+
1
d
(
e
a
x
)
=
x
n
+
1
e
a
x
−
a
∫
x
n
+
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x\end{aligned}}\!}
(
n
+
1
)
I
n
=
x
n
+
1
e
a
x
−
a
I
n
+
1
{\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1}\!}
指数を１つずらし、n + 1 → n , n → n – 1とすると、
n
I
n
−
1
=
x
n
e
a
x
−
a
I
n
{\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n}\!}
となる。In について解くと
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
となる。積分漸化式は
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
となる。
e
a
x
{\displaystyle e^{ax}}
e
a
x
d
x
=
d
(
e
a
x
)
a
{\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}}\,\!}
I
n
=
1
a
∫
x
n
d
(
e
a
x
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})\!}
部分積分を行う。
∫
x
n
d
(
e
a
x
)
=
x
n
e
a
x
−
∫
e
a
x
d
(
x
n
)
=
x
n
e
a
x
−
n
∫
e
a
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x\end{aligned}}\!}
逆代入すると
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
となり、先ほどの
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
と等価になる。
ここまでの導出は部分積分によって行うこともできる。
I
n
=
∫
x
n
x
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x\!}
u
=
x
n
,
d
v
=
e
a
x
{\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax}}
d
u
d
x
=
n
x
n
−
1
,
v
=
e
a
x
a
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ }
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
∫
n
x
n
−
1
e
a
x
a
d
x
{\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ }
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }
ここで
I
n
−
1
=
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }
∴
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
I
n
−
1
{\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}}
となるため、逆代入すると以下のようになる。
I
n
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
I
n
−
1
)
{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right)\,\!}
これは以下の式に等しい。
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
1
a
(
x
n
e
a
x
−
n
∫
x
n
−
1
e
a
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right)\!}
以下の要素を含む積分の例を示す。
一次式 の平方根 の因子
a
x
+
b
{\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}
一次式の因子
p
x
+
q
{\displaystyle {px+q}\,\!}
a
x
+
b
{\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}
二次 因子
x
2
+
a
2
{\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!}
二次因子
x
2
−
a
2
{\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!}
x
>
a
{\displaystyle x>a\,\!}
二次因子
a
2
−
x
2
{\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!}
x
<
a
{\displaystyle x<a\,\!}
(既約 ) 二次因子
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
既約多項式の平方根の因子
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
x
n
a
x
+
b
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
=
2
x
n
a
x
+
b
a
(
2
n
+
1
)
−
2
n
b
a
(
2
n
+
1
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!}
I
n
=
∫
d
x
x
n
a
x
+
b
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!}
I
n
=
−
a
x
+
b
(
n
−
1
)
b
x
n
−
1
−
a
(
2
n
−
3
)
2
b
(
n
−
1
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!}
I
n
=
∫
x
n
a
x
+
b
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
=
2
x
n
(
a
x
+
b
)
3
a
(
2
n
+
3
)
−
2
n
b
a
(
2
n
+
3
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
d
x
(
a
x
+
b
)
m
(
p
x
+
q
)
n
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!}
I
m
,
n
=
{
−
1
(
n
−
1
)
(
b
p
−
a
q
)
[
1
(
a
x
+
b
)
m
−
1
(
p
x
+
q
)
n
−
1
+
a
(
m
+
n
−
2
)
I
m
,
n
−
1
]
1
(
m
−
1
)
(
b
p
−
a
q
)
[
1
(
a
x
+
b
)
m
−
1
(
p
x
+
q
)
n
−
1
+
p
(
m
+
n
−
2
)
I
m
−
1
,
n
]
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
(
a
x
+
b
)
m
(
p
x
+
q
)
n
d
x
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
m
,
n
=
{
−
1
(
n
−
1
)
(
b
p
−
a
q
)
[
(
a
x
+
b
)
m
+
1
(
p
x
+
q
)
n
−
1
+
a
(
n
−
m
−
2
)
I
m
,
n
−
1
]
−
1
(
n
−
m
−
1
)
p
[
(
a
x
+
b
)
m
(
p
x
+
q
)
n
−
1
+
m
(
b
p
−
a
q
)
I
m
−
1
,
n
]
−
1
(
n
−
1
)
p
[
(
a
x
+
b
)
m
(
p
x
+
q
)
n
−
1
−
a
m
I
m
−
1
,
n
−
1
]
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
d
x
(
x
2
+
a
2
)
n
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!}
I
n
=
x
2
a
2
(
n
−
1
)
(
x
2
+
a
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
2
a
2
(
n
−
1
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
d
x
x
m
(
x
2
+
a
2
)
n
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!}
a
2
I
n
,
m
=
I
m
,
n
−
1
−
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
x
m
(
x
2
+
a
2
)
n
d
x
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
,
m
=
I
m
−
2
,
n
−
1
−
a
2
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
d
x
(
x
2
−
a
2
)
n
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!}
I
n
=
−
x
2
a
2
(
n
−
1
)
(
x
2
−
a
2
)
n
−
1
−
2
n
−
3
2
a
2
(
n
−
1
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
d
x
x
m
(
x
2
−
a
2
)
n
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!}
a
2
I
n
,
m
=
I
m
−
2
,
n
−
I
m
,
n
−
1
{\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
x
m
(
x
2
−
a
2
)
n
d
x
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
,
m
=
I
m
−
2
,
n
−
1
+
a
2
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
d
x
(
a
2
−
x
2
)
n
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!}
I
n
=
x
2
a
2
(
n
−
1
)
(
a
2
−
x
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
2
a
2
(
n
−
1
)
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
d
x
x
m
(
a
2
−
x
2
)
n
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!}
a
2
I
n
,
m
=
I
m
,
n
−
1
+
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle {a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!}
I
n
,
m
=
∫
x
m
(
a
2
−
x
2
)
n
d
x
{\displaystyle I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
,
m
=
a
2
I
m
−
2
,
n
−
I
m
−
2
,
n
−
1
{\displaystyle I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
d
x
x
n
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!}
−
c
I
n
=
1
x
n
−
1
(
n
−
1
)
+
b
I
n
−
1
+
a
I
n
−
2
{\displaystyle -cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
x
m
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!}
I
m
,
n
=
−
x
m
−
1
a
(
2
n
−
m
−
1
)
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
−
1
−
b
(
n
−
m
)
a
(
2
n
−
m
−
1
)
I
m
−
1
,
n
+
c
(
m
−
1
)
a
(
2
n
−
m
−
1
)
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
d
x
x
m
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!}
−
c
(
m
−
1
)
I
m
,
n
=
1
x
m
−
1
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
−
1
+
a
(
m
+
2
n
−
3
)
I
m
−
2
,
n
+
b
(
m
+
n
−
2
)
I
m
−
1
,
n
{\displaystyle -c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!}
8
a
(
n
+
1
)
I
n
+
1
2
=
2
(
2
a
x
+
b
)
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
+
1
2
+
(
2
n
+
1
)
(
4
a
c
−
b
2
)
I
n
−
1
2
{\displaystyle 8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!}
I
n
=
∫
1
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
(
2
n
−
1
)
(
4
a
c
−
b
2
)
I
n
+
1
2
=
2
(
2
a
x
+
b
)
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
−
1
2
+
8
a
(
n
−
1
)
I
n
−
1
2
{\displaystyle (2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!}
指数法則 により以下が成り立つことに注意。
I
n
+
1
2
=
I
2
n
+
1
2
=
∫
1
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
2
n
+
1
2
d
x
=
∫
1
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
2
n
+
1
d
x
{\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}
以下の要素を含む積分の例を示す。
正弦(sin)因子
余弦(cos)因子
正弦と余弦の積や商の因子
指数因子とxの冪乗の積や商
指数因子と正弦/余弦因子の積
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
x
n
sin
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}}x\,\!}
a
2
I
n
=
−
a
x
n
cos
a
x
+
n
x
n
−
1
sin
a
x
−
n
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!}
J
n
=
∫
x
n
cos
a
x
d
x
{\displaystyle J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!}
a
2
J
n
=
a
x
n
sin
a
x
+
n
x
n
−
1
cos
a
x
−
n
(
n
−
1
)
J
n
−
2
{\displaystyle a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!}
I
n
=
∫
sin
a
x
x
n
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
J
n
=
∫
cos
a
x
x
n
d
x
{\displaystyle J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
=
−
sin
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
a
n
−
1
J
n
−
1
{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!}
J
n
=
−
cos
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
n
−
1
I
n
−
1
{\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}
上の二式を合わせて、In のみの式を作ることができる。
J
n
−
1
=
−
cos
a
x
(
n
−
2
)
x
n
−
2
−
a
n
−
2
I
n
−
2
{\displaystyle J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!}
I
n
=
−
sin
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
n
−
1
[
cos
a
x
(
n
−
2
)
x
n
−
2
+
a
n
−
2
I
n
−
2
]
{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}
∴
I
n
=
−
sin
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
cos
a
x
x
n
−
2
+
a
I
n
−
2
)
{\displaystyle \therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!}
Jn についても同様である。
I
n
−
1
=
−
sin
a
x
(
n
−
2
)
x
n
−
2
+
a
n
−
2
J
n
−
2
{\displaystyle I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!}
J
n
=
−
cos
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
n
−
1
[
−
sin
a
x
(
n
−
2
)
x
n
−
2
+
a
n
−
2
J
n
−
2
]
{\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}
∴
J
n
=
−
cos
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
−
sin
a
x
x
n
−
2
+
a
J
n
−
2
)
{\displaystyle \therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!}
I
n
=
∫
sin
n
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
a
n
I
n
=
−
sin
n
−
1
a
x
cos
a
x
+
a
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!}
J
n
=
∫
cos
n
a
x
d
x
{\displaystyle J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
a
n
J
n
=
sin
a
x
cos
n
−
1
a
x
+
a
(
n
−
1
)
J
n
−
2
{\displaystyle anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!}
I
n
=
∫
d
x
sin
n
a
x
{\displaystyle I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!}
(
n
−
1
)
I
n
=
−
cos
a
x
a
sin
n
−
1
a
x
+
(
n
−
2
)
I
n
−
2
{\displaystyle (n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!}
J
n
=
∫
d
x
cos
n
a
x
{\displaystyle J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!}
(
n
−
1
)
J
n
=
sin
a
x
a
cos
n
−
1
a
x
+
(
n
−
2
)
J
n
−
2
{\displaystyle (n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!}
積分
積分漸化式
I
m
,
n
=
∫
sin
m
a
x
cos
n
a
x
d
x
{\displaystyle I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
I
m
,
n
=
{
−
sin
m
−
1
a
x
cos
n
+
1
a
x
a
(
m
+
n
)
+
m
−
1
m
+
n
I
m
−
2
,
n
sin
m
+
1
a
x
cos
n
−
1
a
x
a
(
m
+
n
)
+
n
−
1
m
+
n
I
m
,
n
−
2
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
d
x
sin
m
a
x
cos
n
a
x
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!}
I
m
,
n
=
{
1
a
(
n
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
cos
n
−
1
a
x
+
m
+
n
−
2
n
−
1
I
m
,
n
−
2
−
1
a
(
m
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
cos
n
−
1
a
x
+
m
+
n
−
2
m
−
1
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
sin
m
a
x
cos
n
a
x
d
x
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
m
,
n
=
{
sin
m
−
1
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
−
m
−
1
n
−
1
I
m
−
2
,
n
−
2
sin
m
+
1
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
−
m
−
n
+
2
n
−
1
I
m
,
n
−
2
−
sin
m
−
1
a
x
a
(
m
−
n
)
cos
n
−
1
a
x
+
m
−
1
m
−
n
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!}
I
m
,
n
=
∫
cos
m
a
x
sin
n
a
x
d
x
{\displaystyle I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!}
I
m
,
n
=
{
−
cos
m
−
1
a
x
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
−
m
−
1
n
−
1
I
m
−
2
,
n
−
2
−
cos
m
+
1
a
x
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
−
m
−
n
+
2
n
−
1
I
m
,
n
−
2
cos
m
−
1
a
x
a
(
m
−
n
)
sin
n
−
1
a
x
+
m
−
1
m
−
n
I
m
−
2
,
n
{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!}
積分
積分漸化式
I
n
=
∫
x
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
n
>
0
{\displaystyle n>0\,\!}
I
n
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!}
I
n
=
∫
x
−
n
e
a
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!}
n
>
0
{\displaystyle n>0\,\!}
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1\,\!}
I
n
=
−
e
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
a
n
−
1
I
n
−
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!}
I
n
=
∫
e
a
x
sin
n
b
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
=
e
a
x
sin
n
−
1
b
x
a
2
+
(
b
n
)
2
(
a
sin
b
x
−
b
n
cos
b
x
)
+
n
(
n
−
1
)
b
2
a
2
+
(
b
n
)
2
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!}
I
n
=
∫
e
a
x
cos
n
b
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!}
I
n
=
e
a
x
cos
n
−
1
b
x
a
2
+
(
b
n
)
2
(
a
cos
b
x
+
b
n
sin
b
x
)
+
n
(
n
−
1
)
b
2
a
2
+
(
b
n
)
2
I
n
−
2
{\displaystyle I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!}
Anton, H., Bivens, L. and Davis, S. (2008). Calculus (7th ed.). New York: John Wiley and Sons S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик) (2007). Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger. ed. Table of Integrals, Series, and Products (7th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-373637-6 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0 森口繁一 、宇田川銈久、一松信 『岩波数学公式I 微分積分・平面曲線』（新装版）岩波書店 、1987年。ISBN 4-00-005507-0 。 
![{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe62b96da4dcd19949be358d5354faed7a7f0a6)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62922721540ee6636beadc5183d305fa0a98b)
![{\displaystyle I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf63aea753eb3517e589623b4728e1545c012b)
![{\displaystyle I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ab79c10f4eed2620c496fac8b476174a84477)
![{\displaystyle J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ed60b99d5d7b4dfa736c3627c68021c847b44)
