ガンマ関数

y=Γ(x)

Γ(x+iy)の絶対値
（グラフ中「re」はxに相当、「im」はyに相当）

数学においてガンマ関数（ガンマかんすう、英: Gamma function）とは、階乗の概念を一般化した特殊関数。 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者オイラーが階乗の一般化として、最初に導入した。

定義

実部が正となる複素数$z$について、次の積分で定義される関数

$\Gamma(z)=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\real{z}>0)$

をガンマ関数と呼ぶ。この積分は、ルシャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、$\Gamma$という記号は、ルジャンドルが用いたものである。それ以前は$\Pi(x)$などと表記していた（ただし$\Pi(x)=\Gamma(x+1)$）。

一般の複素数$z$については、解析接続もしくは次の無限乗積で定義される。

$\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}$

基本的性質

ガンマ関数は、階乗の複素数への拡張としてオイラーによって考案されたものであり、自然数$n$について

$\Gamma(n+1)=n! \,$

が成立する。 実際、オイラー積分による定義から

$\Gamma(z)=\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-1}(-e^{-t})'}\,dt=\left[-t^{z-1}e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}+(z-1)\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-2}e^{-t}}\,dt=(z-1)\Gamma(z-1)$
$\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1$

であり、自然数$n$について$\Gamma(n+1)=n!$が成り立つ。従って、ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものといえる。そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→ボーア・モレルップの定理）。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型に解析接続する。ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その留数は、

${\rm Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!}$

である。また、非整数でのガンマ関数の値のうちでおそらく最も有名なのは、ガウス積分になる以下の場合であろう。

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

これより、自然数$n$について

$\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}$

が成立することがわかる。ここで !! は二重階乗を表す。この性質を利用して高次元球の体積と表面積を求めることができる。また、

$\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = \frac{ (-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi}$

定義の整合性

定義の積分表示と乗積表示が一致することを示す。

$G_n(z)=\int_{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}dt$

とすれば$\lim_{n\to\infty}{(1-t/n)^n}=e^{-t}$であるから$\lim_{n\to\infty}{G_n(z)}=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt$である。$t=nu$の置換により

$G_n(z)=n^{z}\int_{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du$

$n^{z}$を除く部分を$g_n(z)$として

$g_0(z)=\int_{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[\frac{u^z}{z}\right]_{u=0}^{1}=\frac{1}{z}$
$g_n(z)=\int_{0}^{1}{\left(\frac{u^{z}}{z}\right)'(1-u)^{n}}du=\frac{n}{z}\int_{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du=\frac{n}{z}g_{n-1}(z+1)$

これにより

$G_n(z)=\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}$

を得る。故に

$\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt=\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}$

である。

ワイエルシュトラスの乗積表示

オイラーの乗積表示からオイラーの定数$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)$を括り出すとワイエルシュトラスの乗積表示が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数に極を持つことを嫌って逆数を用いた。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である。

$\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^zn!}=\lim_{n\to\infty}zn^{-z}\left(\prod_{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod_{m=1}^{n}{\frac{z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m}$

ハンケルの積分表示

ガンマ関数は次の周回積分で表される。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は$-\pi\le\arg(-t)\le\pi,0\le\arg(s)\le2\pi$とする。

$\begin{align} &\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\ &\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-s}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\ &\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})\\ \end{align}$

これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある。

ハンケルの積分表示の導出

極座標表示$(-t)=re^{i\theta}$を用いると、実軸の上側に沿う部分は$\theta=-\pi$で$r=\infty$から$r=\delta$まで、原点を回る部分は$r=\delta$で$\theta=-\pi$から$\theta=\pi$まで、実軸の下側に沿う部分は$\theta=\pi$で$r=\delta$から$r=\infty$までとなる。

$\begin{align}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt &=\int_{\infty}^{\delta}(re^{-{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr+\int_{-\pi}^{\pi}({\delta}e^{i\theta})^{z-1}e^{{\delta}e^{i\theta}}(-i{\delta}e^{i\theta})d\theta+\int_{\delta}^{\infty}(re^{{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr\\ &=\int_{\infty}^{\delta}r^{z-1}e^{-{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta+\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr\\ &=\left(-e^{-{\pi}i(z-1)}+e^{{\pi}i(z-1)}\right)\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\ &=-2i\sin{\pi}z\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\ \end{align}$

$\real{z}>0$とすると$\delta\to0$で$\delta^z\to0$であるから

$\begin{align}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt &=-2i\sin{\pi}z\int_{0}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr\\ &=-2i\sin{\pi}z\Gamma(z)\qquad(\real{z}>0)\\ \end{align}$

である。しかし、左辺の被積分関数は$z$が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、

$\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})$

である。$s=re^{i\theta}$とすれば、同様にして

$\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-t}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})$

を得る。また、相半公式により、

$\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{\sin{\pi}z}{\pi}\Gamma(1-z)=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})$

を得る。

スターリングの公式

$z \to \infty$での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、$|{\arg z}|={\pi}$に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は反射公式などを用いて$|{\arg z}|\le{\pi}/2$程度に制限することが多い。

$\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\qquad(|{\arg z}|<{\pi},|z|\gg0)$
$\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}=1\qquad(|{\arg z}|<{\pi})$

相半公式

次の恒等式をオイラーの相半公式(reflection formula)という。

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}$

この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。

$\begin{align} -z\Gamma(z)\Gamma(-z) &=-z\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-z}n!}{\prod_{k=0}^{n}{(-z+k)}}\right)\\ &=\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-z^2}\\ &=\frac{\pi}{{\pi}z\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{k^2-z^2}{k^2}}\\ \end{align}$

この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}$

である。反射公式に$z=\frac{1}{2}$を代入すれば

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin{\frac{\pi}{2}}}=\pi$

となり

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$

を得る。

乗法公式

次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。

$\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}$

この証明を示す。両辺の比を$f(z)$とすると

$\begin{align}f(z)= &\frac{n^{nz-1/2}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\Gamma(nz)}\\ \end{align}$
$\begin{align}f(z+1) &=\frac{n^{nz-1/2}n^n\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(z+\frac{k}{n}\right)\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\ &=\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\ &=f(z)\\ \end{align}$

故に、任意に大きな自然数$m$について$f(z+m)=f(z)$が成立する。スターリングの公式により

$\begin{align}\lim_{\real{z}\to+\infty}f(z) &=\lim_{\real{z}\to+\infty}\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}{\sqrt{\frac{2{\pi}}{z+k/n}}\left(\frac{z+k/n}{e}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\sqrt{\frac{2{\pi}}{nz}}\left(\frac{nz}{e}\right)^{nz}}\\ &=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\ &=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\ &=1 \end{align}$

途中で

$\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}$

を適用した。

$f(z)=\lim_{n\to\infty}f(z+n)=1$

であり、故に

$\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}$

が成立する。

微分方程式

$(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)$を変数とする多項式$F(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)$に対し、

$F(x, y, y_1, \cdots, y_n)=0 , \quad y_i=\frac{d^i y}{dx^i} \quad (i=1, \cdots,n)$

の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後 、E. H. ムーア、A. オストロフスキ 、E. バーンズ、ハウスドルフにより、別証明や一般化がなされた。

いくつかの具体的な値

$\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\,= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \approx 2.363\,$
$\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\,= -2\sqrt{\pi} \approx -3.545\,$
$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\,= \sqrt{\pi} \approx 1.772\,$
$\Gamma(1)\,=0!=1 \,$
$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\,= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \approx 0.886\,$
$\Gamma(2)\,=1!=1 \,$
$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\,= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \approx 1.329\,$
$\Gamma(3)\,=2!=2 \,$
$\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\,= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \approx 3.323\,$
$\Gamma(4)\,=3!=6 \,$

ポリガンマ関数

ガンマ関数の対数微分

$\psi(z)=\frac{d}{dz}\log \Gamma(z)$

をディガンマ関数（Digamma function）と呼ぶ。同様の対数微分を繰り返した関数

$\psi^{(n)}(z)=\frac{d^n}{dz^n}\log \Gamma(z)$

を、ポリガンマ関数（Polygamma function）と呼ぶ。

参考文献

• エミール・アルティン 『ガンマ関数入門』 上野健爾 訳・解説、日本評論社〈はじめよう数学6〉、2002年10月25日。ISBN 4-535-60846-6。
• 小松勇作 『特殊函数』 朝倉書店〈近代数学講座5〉、2004年3月15日、復刊。ISBN 978-4-254-11655-7。
• 寺沢寛一 『自然科学者のための数学概論』 岩波書店、1983年5月18日、増訂版。ISBN 978-4-00-005480-5。
• Milton Abramowitz; Irene A. Stegun, ed (1965-06-01). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. . 
• E. T. Whittaker; G. N. Watson (1996-09-13) [1927]. A Course of Modern Analysis. Cambridge Mathematical Library (4th ed.). Cambridge University Press. . 

関連項目

• Abramowitz and Stegun
• 階乗
• 関数一覧
• 特殊関数
• 不完全ガンマ関数
• 複素解析
• ベータ関数
• リーマンゼータ関数
• 分数階微積分学

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Gamma Function" - MathWorld.（英語）
• ガンマ関数とベータ関数 (PDF) （日本語）