微分小

初等解析学（微分積分学）において微分小（びぶんしょう^{[訳語疑問点]}、英: differential）の語は、適当な変量に関する無限小変分を指すために用いられる。例えば、変数 $x$ に対してその増分（変分）はしばしば $Δx$ と書かれるが、変数 $x$ に関する無限に小さな増分を表すのに $dx$ が用いられる。無限小変分（微分小）の概念は直観的な議論においてきわめて有効であり、またその数学的に意味のある定式化にはいくつもの方法が存在する。

初等解析学において、さまざまな変数に関する無限小変分の間の関係性を微分商を用いて述べることができる。 $y$ が $x$ の函数であるとき、 $y$ の微分 $dy$ は $dx$ との間に等式

{\mathit {dy}}={\frac {\mathit {dy}}{\mathit {dx}}}\,{\mathit {dx}}

を通じて関係を持つ。ここに $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dy⁄dx$ は $y$ の $x$ に関する微分商である。この式は「 $x$ に関する $y$ の微分商とは差分商 $Δy ⁄ Δx$ の $Δx$ を無限小に近づけた極限である」という直観的な考えをまとめたものである。

微分小量の概念を数学的に明確にする方法には、例えば以下のようなものが考えられる：

線型写像として: これは全微分および微分幾何学における外微分の定義を下敷きにしたものである^[1]。
可換環の冪零元として: この方法は代数幾何学ではよく用いられる^[2]。
直観主義論理の枠組みで: この方法は綜合微分幾何学（英語版）や滑らかな無限小解析といわれるもので、冪零無限小が導入されるという点では代数幾何学的な方法と近いが、そうなるメカニズムは全く異なりトポス理論からくる^[3]。
超実数の無限小元として: 超実数は可逆な無限小や無限大を含むような実数概念の拡張である。このような方法はアブラハム・ロビンソンの開拓した超準解析による^[4]。

これらのアプローチの各々は互いに非常に異なっているけれども、いずれも「定量的」な概念であることは共通している。つまりこれらの方法で定式化された微分は「無限に小さい」のではなく「どれほどでも（必要なだけ十分に）小さい」のである。

歴史と用例[編集]

「微分積分学の歴史（英語版）」も参照

線型主要部[編集]

代数幾何学[編集]

綜合微分幾何学[編集]

超準解析[編集]

注[編集]

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注釈[編集]

出典[編集]

^ Darling 1994.
^ Eisenbud & Harris 1998.
^ See Kock 2006 and Moerdijk & Reyes 1991.
^ See Robinson 1996 and Keisler 1986.

参考文献[編集]

Apostol, Tom M. (1967), Calculus (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 .
Bell, John L. (1998), Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis .
Boyer, Carl B. (1991), “Archimedes of Syracuse”, A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8 .
Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8 .
Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.) .
Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (2nd ed.), Cambridge University Press, http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf .
Lawvere, F.W. (1968), Outline of synthetic differential geometry (1998発行) .
Moerdijk, I.; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag .
Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3 .

外部リンク[編集]

Weisstein, Eric W. "Differential". mathworld.wolfram.com (英語).
differential in nLab
differential - PlanetMath.（英語）
Definition:Differential at ProofWiki
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Differential”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Darling 1994.

[Harris1998-2] Eisenbud & Harris 1998.

[3] See Kock 2006 and Moerdijk & Reyes 1991.

[nonstd-4] See Robinson 1996 and Keisler 1986.

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表話編歴無限小
歴史	擬等式（英語版）ライプニッツの記法積分記号超準解析への批判（英語版） The Analyst（英語版）『方法』カヴァリエリの原理（不可分の方法）
関連分野	超準解析超準微積分学（英語版）内的集合論（英語版）綜合微分幾何学（英語版）滑らかな無限小解析構成的超準解析（英語版）無限小応変理論（英語版）（物理学）
定式化	微分小超実数二重数超現実数
個々の概念	標準部分（英語版）移行原理（英語版）超整数増分定理モナド内的集合レヴィ＝チヴィタ体超有限集合（英語版）連続の法則（英語版）溢出（英語版） microcontinuity（英語版）等質性の超越法則（英語版）
数学者	ゴットフリート・ライプニッツアブラハム・ロビンソンピエール・ド・フェルマーオーギュスタン＝ルイ・コーシーレオンハルト・オイラー
教科書	『無限小解析』『無限小解析の基礎』『解析教程』