二項級数

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数学の特に初等解析学における二項級数(にこうきゅうすう、: binomial series)は二項式の冪のマクローリン級数を言う。

定義[編集]

具体的に、α を任意の複素数として、函数 ff(x) = (1 + x)m で与えられるとき、マクローリン展開

(1)

の右辺に現れる冪級数二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数

が用いられている。

  • 冪指数 α が自然数 n のときは、上記の級数の n + 2 番目以降の項はすべて零になる(明らかに、各項の因子に nn が現れる)から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。
  • 任意の複素数 β に対して、二項級数を
    なる形に書くことができるが、これは特に 1 において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は 1 において x = −z を代入して、二項係数の等式 (β−1
    k
    ) = (−1)k(k+β
    k
    )
    を適用すれば出る。

収束性[編集]

級数 1 の収束は冪指数 α と変数 x の値に依存する。より具体的に、

  1. |x| < 1 ならば、任意の α に対して絶対収束する。
  2. x = −1 ならば、絶対収束する必要十分条件Re(α) > 0 または α = 0 の何れかが成り立つことである。
  3. |x| = 1 かつ x ≠ −1 ならば、収束の必要十分条件は Re(α) > −1 なることである。
  4. |x| > 1 のときには、α が非負整数(級数が有限和となる)場合を除けば、発散する。

いま α は非負整数ではないとし、|x| = 1 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える:

  • Re(α) > 0 ならば絶対収束する。
  • -1 < Re(α) ≤ 0 ならば、x ≠ −1 では条件収束し、x = −1 では発散する。
  • Re(α) ≤ -1 ならば発散する。

二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板 |x| < 1 内で項別微分して式 1 を用いれば、この級数の和が常微分方程式 (1 + x)u′(x) = αu(x) を初期値 u(0) = 1 のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は u(x) = (1 + x)α であり、それはつまり(少なくとも |x| < 1 において)二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を |x| = 1 にまで延長できることは、アーベルの連続性定理(1 + x)α の連続性に基づいて適用した帰結である。

歴史[編集]

自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を m が有理数であるところの y = (1 − x2)m の形の式として利用して、ジョン・ウォリスは(現代的な記法で書けば)後続する (-x2)k の係数列 ck は先行する係数に(自然数冪のときと同様に)m − (k − 1)k を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している[1]

それゆえに、二項級数はニュートンの(一般)二項定理とも呼ばれる。ニュートン自身は証明も与えていないし、この級数の固有性質についても陽に述べてはいない。(現代的な語法で言えば)ニュートンはこの級数を形式冪級数として取り扱ったというのが大筋で適当である[要出典]。のちにニールス・アーベルは回顧録においてこの主題を取り上げ、特筆すべき収束問題として扱っている。

関連項目[編集]

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注釈[編集]

  1. ^ 実は出典において負符号を持つ任意の非定数項が与えられていて、それは第二の式に対しては正しくない(転記ミスと思われる)。

出典[編集]

  1. ^ Coolidge 1949, pp. 147–157[注釈 1]

参考文献[編集]

  • Coolidge, J. L. (1949). “The Story of the Binomial Theorem”. The American Mathematical Monthly 56 (3). JSTOR 2305028. 

外部リンク[編集]