一様収束

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数学の分野である解析学において、一様収束(いちようしゅうそく、: uniform convergence)は、各点収束よりも強い収束英語版の概念である。関数 {fn} が極限関数 f一様収束する (converge uniformly) とは、fn(x) の f(x) への収束のはやさが x に依らないということである。

関数 fn連続性リーマン可積分性といったいくつかの性質は、収束が一様であれば極限 f に引き継がれるが、収束が一様でない場合はそうとは限らないから、一様収束の概念は重要である。

与えられた区間上の関数への一様収束は一様ノルムのことばによって定義できる。

定義[編集]

S集合とし、各自然数 n に対し fn: SR実数値関数とする。列 (fn)nN が極限 f: SR一様収束するとは、任意の ε > 0 に対し、ある自然数 N が存在して、すべての xS とすべての nN に対して |fn(x) − f(x)| < ε が成り立つことをいう。

an = supxS |fn(x) − f(x)| を考えると、fnf に一様収束することと an が 0 に収束することは同値である。

列 (fn)nNf局所一様収束するとは、距離空間 S のすべての点 x に対して、ある r > 0 が存在して、(fn) が B(x, r) ∩ S 上一様収束することをいう。

注意[編集]

上記定義において「ある N が存在して」と「すべての x に対して」の順序を入れ替えると、列の各点収束 (pointwise convergence) に同値な主張となることに注意しよう。各点収束の概念は次のように定義できる。列 (fn) が極限 f: SR に各点収束するとは、

すべての xS とすべての ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して、すべての nN に対して、|fn(x) − f(x)| < ε が成り立つ

ことをいう。ここで x と ε の普遍量化子の順序は重要でないが、x の普遍量化子と N存在量化子の順序は重要である。

一様収束の場合には、N は ε のみにしか依存してはいけないが、各点収束の場合には、N は ε と x の両方に依存してもよい。したがって一様収束ならば各点収束であることは平易である。逆は以下の例が示すように正しくない。S単位区間 [0, 1] とし、各自然数 n に対して fn(x) = xn と定義する。すると (fn) は、x ≤ 1 のとき f(x) = 0, f(1) = 1 によって定義される関数 f に各点収束する。この収束は一様ではない。なぜならば、例えば、ε = 1/4 に対し、定義で要求されるような N は存在しない。n について |xn| < ε を解くと n > log ε / log x となるからである。これは ε だけでなく x にも依存している。また、x に依存しない n の上界を見つけることも不可能であることに注意しよう。任意の ε > 0 に対し、log ε / log xx が 1 に近づくとき限りなく増大するからである。

一般化[編集]

一様収束の概念をすぐに関数 SM, ここで (M, d) は距離空間、に拡張できる。|fn(x) − f(x)| を d(fn(x), f(x)) に置き換えればよい。

最も一般的な設定は関数 SXネットの一様収束である。ここで X一様空間である。ネット (fα) が極限 f: SX一様収束するとは、X のすべての近縁 (entourage) V に対し、ある α0 が存在して、すべての xS とすべての α ≥ α0 に対して、(fα(x), f(x)) が V に入っていることをいう。上に述べた定理、連続関数の一様極限は連続、はこの設定においてもなお正しい。

超実数の設定における定義[編集]

一様収束は超実数の設定において簡易化された定義を持つ。列 fnf に一様収束するとは、f* の定義域のすべての x と、すべての無限大超自然数 n に対して、f *
n
 
f* に無限に近いことをいう(一様連続性の類似の定義はmicrocontinuity英語版を参照)。

性質[編集]

  • すべての一様収束列は広義一様収束である。
  • すべての局所一様収束列はコンパクト収束である。
  • 局所コンパクト空間に対して局所一様収束とコンパクト収束は同値である。
  • 距離空間上の連続関数の列は、終域の距離空間が完備であれば、一様収束であることと一様コーシー列であることは同値である。

概一様収束[編集]

関数の定義域が測度空間 E であれば、関連概念である概一様収束 (almost uniform convergence) が定義できる。関数列 (fn) が E 上概一様収束するとは、すべての δ > 0 に対して、測度が δ よりも小さい可測集合 Eδ が存在して、関数列 (fn) が EEδ 上一様収束することをいう。言い換えれば、概一様収束は、補集合上関数列が一様収束になるようないくらでも小さい測度の集合が存在することを意味する。

列の概一様収束は、名前から誤って予想されるかもしれないが、列がほとんどいたるところ一様収束することを意味するわけではないことに注意する。

エゴロフの定理英語版は測度有限の空間上ほとんどいたるところ収束する英語版関数列は同じ集合上概一様収束もすることを保証する。

概一様収束ならばほとんどいたるところ収束英語版および測度収束である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]