剰余の定理

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多項式に関する剰余の定理(じょうよのていり、: polynomial remainder theorem)は、多項式 f (x) をモニックな(つまり最高次の係数が1である)二項一次多項式 xa で割ったときの剰余は f (a) であるという定理。とくに、f (a) = 0 ならば f (x) が xa を因数にもつことが分かる(因数定理)。

概要[編集]

多項式 f (x) を d(x) で割るとき、次式を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する:

ここで

これを多項式における除法の原理といい、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数または除多項式、f (x) を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg(r) < deg(d) は、多項式 r(x) の次数が d(x) の次数より小さいことを表している(一意性のための条件)。

除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = xa であるとき、次数についての条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x)

と分解され、さらに x = a とおけば xa = 0 なので f (a) = r であることが分かる。

同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば

となる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まる。ax + b = 0 となる x, つまり x = −b/a を代入すれば r = f (−b/a) を得る。

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