シュトラッセンのアルゴリズム

シュトラッセンのアルゴリズム（Strassen algorithm）は、行列の積を高速に計算するアルゴリズムである。通常、$N\times N$行列同士の積を計算するには$O(N^{3})$の時間が必要だが、このアルゴリズムを用いると、$O(N^{\log _{2}7})\approx O(N^{2.807})$の時間で計算できる。1969年、フォルカー・シュトラッセンが開発した。

便宜上、$N$を偶数と考えて、以下のように${\frac {N}{2}}\times {\frac {N}{2}}$部分行列に分解する。

${\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}\\C_{21}&C_{22}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\\\end{pmatrix}}$

そして、以下の七つの行列をつくる。

$P_{1}=(A_{11}+A_{22})(B_{11}+B_{22})$

$P_{2}=(A_{21}+A_{22})B_{11}$

$P_{3}=A_{11}(B_{12}-B_{22})$

$P_{4}=A_{22}(B_{21}-B_{11})$

$P_{5}=(A_{11}+A_{12})B_{22}$

$P_{6}=(A_{21}-A_{11})(B_{11}+B_{12})$

$P_{7}=(A_{12}-A_{22})(B_{21}+B_{22})$

このとき、

$C_{11}=P_{1}+P_{4}-P_{5}+P_{7}$

$C_{12}=P_{3}+P_{5}$

$C_{21}=P_{2}+P_{4}$

$C_{22}=P_{1}+P_{3}-P_{2}+P_{6}$

の関係が成り立つ。

この関係を利用して計算すると、部分行列同士の乗算が、通常の方法では8回必要なのに、この方法では7回ですむようになり、計算時間が削減される。部分行列への分割を再帰的に行うことにより、さらに計算時間を削減することができる。

関連文献

• Ushiro, Y. (1998). An extension of Strassen's algorithm on matrix multiplication, Hitachi, Ltd. General Purpose Computer Division.

解説記事

• Huang, J., Smith, T. M., Henry, G. M., & van de Geijn, R. A. (2016, November). Strassen's algorithm reloaded. In Proceedings of the International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis (p. 59). IEEE Press.
• Gates, A. Q., & Kreinovich, V. (2001). Strassen's Algorithm Made (Somewhat) More Natural: A Pedagogical Remark. Bulletin of the EATCS, 73, 142-145.
• Grochow, J. A., & Moore, C. (2017). Designing Strassen's algorithm. arXiv preprint arXiv:1708.09398.
• Ikenmeyer, C., & Lysikov, V. (2017). Strassen's 2x2 matrix multiplication algorithm: A conceptual perspective. arXiv preprint arXiv:1708.08083.

精度保証付き数値計算

• 荻田武史, 大石進一, & 後保範. (2003). Strassen のアルゴリズムによる行列乗算の高速精度保証 (微分方程式の数値解法と線形計算). 京都大学数理解析研究所講究録.
• 森山敦史, 荻田武史, 後保範, & 大石進一. (2004). 拡張 Strassen 法による連立一次方程式の精度保証 (数値解析と新しい情報技術). 京都大学数理解析研究所講究録.