べき乗法

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べき乗法とはあるn \times n行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法である。

具体的には、与えられたn \times n行列\mathbf{A}に対して、適当な初期ベクトル\mathbf{x}^{(0)}から始めて、逐次

\mathbf{x}^{(k)} = \mathbf{A} \mathbf{x}^{(k-1)}

を計算することで、\mathbf{x}^{(k)}\mathbf{A}の絶対値最大の固有値\lambda_1に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

\lim_{k \to \infty}\dfrac{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k)}}{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k-1)}} = \lambda_1

により絶対値最大の固有値を得る。


また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。


収束の証明[編集]

n \times n行列\mathbf{A}の固有値\lambda_i (i=1,2,\cdots,n)がすべて互いに異なり

\mid\lambda_1\mid>\mid\lambda_2\mid>\cdots>\mid\lambda_n\mid

であるとする。ここで、\lambda_iに属する\mathbf{A}の固有ベクトルを\mathbf{u}_iとすると、\mathbf{u}_i

\mathbf{A}\mathbf{u}_i = \lambda_i \mathbf{u}_i

をみたす。また、\mathbf{u}_iは互いに1次独立なので、初期ベクトル\mathbf{x}^{(0)}はこれらの1次結合により

\mathbf{x}^{(0)} = c_{1}\mathbf{u}_{1} + c_{2}\mathbf{u}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{u}_{n}

と表すことができる。ここで、c_1 \neq 0とすれば、\mathbf{x}^{(k)}は以下のように表される。

\mathbf{x}^{(k)} = \mathbf{A}^{k}\mathbf{x}^{(0)} = c_{1}{\lambda_1}^{k}\mathbf{u}_{1} + c_{2}{\lambda_2}^{k}\mathbf{u}_{2} + \cdots + c_{n}{\lambda_n}^{k}\mathbf{u}_{n}

=c_1{\lambda_1}^{k}\biggl\{\mathbf{u}_1 + \dfrac{c_2}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^k\mathbf{u}_2 + \cdots + \dfrac{c_n}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^k\mathbf{u}_n \biggr\}

仮定より\mid\lambda_l/\lambda_1\mid<1 \left(l\neq1\right)なので、k\rightarrow\inftyのとき\mathbf{x}^{(k)}は絶対値最大の固有値\lambda_1に属する固有ベクトルc_1{\lambda_1}^k\mathbf{u}_1に収束する。


絶対値最大の固有値\lambda_1を求めるときは、

\mathbf{x}^{(k-1)} = c_1{\lambda_1}^{k-1}\biggl\{\mathbf{u}_1 + \dfrac{c_2}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{k-1}\mathbf{u}_2 + \cdots + \dfrac{c_n}{c_1}\left(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^{k-1}\mathbf{u}_n \biggr\}

より、

\lim_{k \to \infty}\dfrac{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k)}}{\mathbf{x}^{(k){\rm T}}\mathbf{x}^{(k-1)}} = \lambda_1

となることを利用する。


参考文献[編集]

関連項目[編集]