単因子

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代数学において、行列単因子(たんいんし)とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義[編集]

D単項イデアル整域(たとえば整数環 Z複素係数の一変数多項式環 C[x] などのユークリッド整域)とする。また Mn×m(D)D 成分の n×m 行列全体とし、特に m = n のときは、これを Mn(D) と表すことにする。すべての行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn(D)Q ∈ Mm(D) を使って次の形に変形できる[1]

ここで e1, …, er ≠ 0 かつ e1D ⊇ … ⊇ erD である。このような e1, …, er単数倍を除いて一意に定まり[2]、これを行列 A単因子という。右辺の行列は Aスミス標準形 Smith normal form[3] あるいは単因子標準形と呼ばれる。 この行列 P, Q行列の基本変形をして求めることができる[4]

性質[編集]

Fとする。

  • 行列 A, B ∈ Mn(F)相似である必要十分条件は行列 xIA, xIB ∈ Mn(F[x]) の単因子が一致することである[5]
  • 行列 A ∈ Mn(F)最小多項式は行列 xIA ∈ Mn(F[x]) の最大次数の単因子(を規格化したもの)と一致する[6]

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D複素係数の一変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (xλ)2 とわかる。

脚注[編集]

  1. ^ Jacobson 2009, Theorem 3.8.
  2. ^ Jacobson 2009, p. 185.
  3. ^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.
  4. ^ Jacobson 2009, p. 182.
  5. ^ 斎藤 1966, 系6.1.4, 定理6.1.8.
  6. ^ 斎藤 1966, 定理6.3.3.

参考文献[編集]

  • Hazewinkel, M.; Gubareni, N.; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, Rings and Modules. 1. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0 
  • Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA181#v=onepage&q&f=false 
  • 斎藤, 正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7

関連項目[編集]

外部リンク[編集]