単因子

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代数学において、行列単因子(たんいんし、: elementary divisors, invariant factors)とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義[編集]

D単項イデアル整域(たとえば整数環係数の 1 変数多項式環などのユークリッド整域)とする。また Mn×m(D)D 成分の n×m 行列全体とする。すべての行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn×n(D)Q ∈ Mm×m(D) を使って次の形に変形できる[1]

ここで e1, …, er ≠ 0 かつ e1D ⊇ … ⊇ erD である。このような e1, …, er単数倍を除いて一意に定まり[2]、これを行列 A単因子 という。 この行列 P, Q行列の基本変形をして求めることができる[3]

性質[編集]

Fとする。

  • 行列 A, B ∈ Mn×n(F)相似である必要十分条件は行列 xIA, xIB ∈ Mn×n(F[x]) の単因子が一致することである[4]
  • 行列 A ∈ Mn×n(F)最小多項式は行列 xIA ∈ Mn×n(F[x]) の最大次数の単因子(を規格化したもの)と一致する[5]

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D複素数係数の 1 変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M2×2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M2×2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (xλ)2 とわかる。

脚注[編集]

  1. ^ Jacobson 2009, Theorem 3.8.
  2. ^ Jacobson 2009, p. 185.
  3. ^ Jacobson 2009, p. 182.
  4. ^ 斎藤 1966, 系6.1.4, 定理6.1.8.
  5. ^ 斎藤 1966, 定理6.3.3.

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]