グラム・シュミットの正規直交化法

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グラム・シュミットの正規直交化法(グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、: Gram-Schmidt orthonormalization)とは、計量ベクトル空間に属する線型独立な有限個のベクトルが与えられたとき、それらと同じ部分空間張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種[1]シュミットの直交化(ちょっこうか、orthogonalization)ともいう。変換行列は上三角行列に取ることができる。正規化する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

アルゴリズム[編集]

Gram-Schmidt orthonormalization process.gif

V計量ベクトル空間とし、V のベクトル v, u内積を (v, u) と表すことにする。与えられたベクトル線型独立系を {v1, v2, ..., vn} とする。

直交化

\begin{align}
u_1 &= v_1                                                                                                                                                                                                             \\
u_2 &= v_2 - \frac{(u_1, v_2)}{(u_1, u_1)}u_1                                                                                                                                                         \\ 
u_3 &= v_3 - \frac{(u_1, v_3)}{(u_1, u_1)}u_1 - \frac{(u_2, v_3)}{(u_2, u_2)}u_2                                                                                                    \\
       &\vdots                                                                                                                                                                                                            \\
u_n &= v_n - \frac{(u_1, v_n)}{(u_1, u_1)}u_1 - \frac{(u_2, v_n)}{(u_2, u_2)}u_2 - \dotsb - \frac{(u_{n-1}, v_n)}{(u_{n-1}, u_{n-1})}u_{n-1}
\end{align}

によって順に新しいベクトルを作っていくと、{u1, u2, ..., un} は新しい線型独立系になる。構成から、互いに直交していることは容易にわかる。

正規化

e_i = \frac{u_i}{(u_i, u_i)^{1/2}}

とおけば {e1, e2, ..., en} が求める性質を満たす正規直交系であることがわかる。

脚注[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]