余因子行列

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数学線形代数学において、n正方行列 A余因子行列(よいんしぎょうれつ、: adjugate matrix)あるいは古典随伴行列(こてんずいはんぎょうれつ、: classical adjoint matrix)とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のことであり[1]、記号で , [2] などで表す。これはn次正方行列になる。

単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列(転置をしない)を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

定義[編集]

可換環 R 上の n次正方行列 A = (ai,j)余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり、記号で , [2] などで表す。

A(i,j)小行列式Mi,j で表すことにする。これは、A の第i行、第j列を除いてできる (n − 1)次小正方行列の行列式である:

A(i,j)余因子を ~ai,j で表すと、

A余因子展開は、A の余因子行列 ~A により、次のように表せる:

ここで I単位行列である。

A が特に正則行列のとき、A の逆行列は余因子行列 ~A で表せる:

[編集]

1次[編集]

1次正方行列 A = (a) の余因子行列は、A零行列でないときは、1次単位行列

である。 は慣習上 0 とする。

2次[編集]

2次正方行列

の余因子行列は

なお、この 2次の場合は が成り立つ。

3次[編集]

3次正方行列

の余因子行列を考える。(i, j)成分に (i, j)余因子を並べたものは、

ここで

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、

数値計算[編集]

例えば、実3次正方行列

の余因子行列は、

となる。実際、余因子行列の (2,3)成分は (3,2)余因子であり、それは (3,2)小行列式(第3行、第2列を除いた小行列の行列式)に符号を掛けたものに等しい:

性質[編集]

An次正方行列とする。

  • O は零正方行列)
  • I は単位行列)
  • c はスカラー)
  • T転置を表す)
  • A正則なら、
    これから次が導かれる:
    • adj(A) は正則で、その逆行列は(det A)−1A
    • adj(A−1) = adj(A)−1.
  • adj(A) の各成分は A の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj(A) の各成分は、A の成分の滑らかな関数である。

複素数体上では、

  •   複素共役を表す)
  • *随伴行列を表す)

B をもう1つの n次正方行列とする。

この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 A, B に余因子展開の等式を利用する方法である:

両辺を多項式として det AB で割ると ~AB = ~B~A を得る。(証明終)

これより、行列の冪乗について次が成り立つ:

  • k0 以上の整数)
    • A が正則なら、この等式は k が負の整数の場合についても成り立つ。
等式
から導かれる。
  • rk(A) ≤ n − 2 のとき、adj(A) = O
  • rk(A) = n − 1 のとき、rk(adj(A)) = 1
A のある小行列式は 0 でない、故に adj(A)0 でなく、したがって、階数は 1 以上である。等式 adj(A) A = 0 は、adj(A)の次元は n − 1 以上であることを意味する。故に、adj(A) の階数は 1 以下である。)
このとき、adj(A) は次のように表せる:
adj(A) = xyTx, y かつ を満たすベクトルである)

列の置き換えとクラメルの公式[編集]

A の列ベクトル表示を

とし、bn次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ jn に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する:

この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる:

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると

ここでクラメルの公式を適用すると、

ここで xix の第i成分である。

固有多項式[編集]

A固有多項式

とすると、 p の第一差商は、n − 1対称式になる:

sIA の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 p(A) = O より、

特に、Aレゾルベントは次の式で定義される:

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい:

ヤコビの公式[編集]

行列式微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。A(t) は連続的微分可能なら、

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる:

ケイリー・ハミルトンの定理[編集]

pA(t) を線形変換 A固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、tA に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう:

定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は ApA(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪のの項で具体的に表せ、次のようになる:

ここで nA の次数、総和 s, 数列 kl ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする:

特に 2次の場合は、次のようになる:

3次の場合は

4次の場合は

上記の表示式は、A固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

外積代数との関係[編集]

余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。Vn次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる:

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす:

明示すると、この対は、vV に写す:

T : VV を線形変換とする。T(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間のを作る。このとき T余因子変換は次の合成で定義される:

V = Rn に 基底 (e1, …, en) が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 の基底を取る:

Rn の基底元 ei を固定する。ei によるは、 の基底ベクトルの移る先を決定する:

この基底で、T(n − 1)次外冪 は次のように表せる:

これらのそれぞれの項の による像は、k = i の項を除いて 0 になる。それ故、 の引き戻しは次の線形写像になる:

これは次に等しくなる:

の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる:

故に、その表現行列は A の余因子行列である。

V内積体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす:

これは同型写像を引き起こす:

vRn は次の線型汎函数に一致する:

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、ω ∘ φv ↦ *v と見なせる。

高階余因子行列[編集]

An次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。Ar階余因子行列とは、次正方行列であり、adjr A で表す。その成分は {1, …, m}r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。Ic, Jc はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。 は、行番号、列番号がそれぞれ Ic, Jc から取られる、A小行列を表すとする。adjr A(I, J) 成分は次の式で定義される:

ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある:

  • adj0(A) = det A
  • adj1(A) = adj A
  • adjn(A) = 1
  • adjr(BA) = adjr(A) adjr(B)
  • Cr(A)r複合行列を表す)

高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。, をそれぞれ , に置き換えることでできる。

余因子行列の反復合成[編集]

正則行列 A について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r次余因子行列を考えることができる:

例えば、

関連項目[編集]

参照[編集]

  1. ^ Felix Gantmacher (1960). The Theory of Matrices. 1. New York: Chelsea. pp. 76-89. ISBN 0-8218-1376-5. https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76 
  2. ^ a b 斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月31日。ISBN 978-4130620017

参考文献[編集]

  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, 978-0-521-54823-6
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 978-0-521-46713-1

外部リンク[編集]