クリロフ部分空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ナビゲーションに移動 検索に移動
数学 > 数値解析 > 数値線形代数 > クリロフ部分空間

線型代数において、n正方行列Anベクトルbによって生成されるr次クリロフ部分空間は、bAのべき乗の像が張る線型部分空間である。

ロシアの応用数学者で海軍技術者であったアレクセイ・クリロフにちなんで名づけられた。

大規模疎行列の1個または少数の固有値の計算や、大規模な連立一次方程式の求解に用いられる現代的な反復法では、行列-行列積を計算する代わりに行列をベクトルに作用させ、得られるベクトルを利用する。 を初期ベクトルとすると、を順に掛けてを得るといった方法を取る。このようなアルゴリズムを総称して、クリロフ部分空間法と呼ぶ。これは数値線形代数において最も成功した手法の一つである。

ベクトル列は急速に線型従属に近づくため、クリロフ部分空間を用いる方法には、エルミート行列に対してはランチョス法、非エルミート行列に対してはアーノルディ法などの直交化手法が含まれることが多い。

主なクリロフ部分空間法として、アーノルディ法ランチョス法GMRES法(generalized minimum residual)、 BiCGSTAB法 (stabilized biconjugate gradient, 共役勾配法の一つ)、QMR法 (quasi minimal residual)[1][2]、 TFQMR法 (transpose-free QMR)[3]、MINRES法 (minimal residual)[4] などが知られている。

参考文献[編集]

  • Saad, Yousef (2003). Iterative methods for sparse linear systems (2nd ed. ed.). SIAM. ISBN 0898715342. OCLC 51266114 
  • David S. Watkins (2008), The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM.
  • Liesen, J., & Strakos, Z. (2012). Krylov subspace methods: principles and analysis. OUP Oxford.

出典[編集]

  1. ^ Freund, R. and Nachtigal, N. "QMR: A Quasi-Minimal Residual Method for Non-Hermitian Linear Systems." Numer. Math. 60, 315-339, 1991.
  2. ^ Freund, R. and Nachtigal, N. "An Implementation of the QMR Method Based on Coupled Two-Term Recurrences." SIAM J. Sci. Statist. Comput. 15, 313-337, 1994.
  3. ^ Roland W. Freund, A transpose-free quasi-minimal residual algorithm for non-Hermitian linear systems, en:SIAM Journal on Scientific Computing 1993; 14(2):470–482.
  4. ^ Christopher C. Paige and Michael A. Saunders, Solution of sparse indefinite systems of linear equations, en:SIAM Journal on Numerical Analysis 1975; 12(4):617–629.

外部リンク[編集]