クリロフ部分空間

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線形代数において、n次正方行列An次ベクトルによって生成されるr次クリロフ部分空間は、 Ar累乗とbによる像の線形部分空間である。

\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}. \,

ロシアの応用数学者で海軍技術者であったアレクセイ・クリロフにちなんで名づけられた。

大規模疎行列の1個または少数の固有値の計算や、大規模な連立一次方程式の求解に用いられる現代的な反復法では、行列-行列積を計算する代わりに行列をベクトルに作用させ、得られるベクトルを利用する。bを初期ベクトルとすると、次にA bを計算し、さらにAを掛けてA^2 bを得るといった方法を取る。このようなアルゴリズムを総称して、クリロフ部分空間法と呼ぶ。これは数値線形代数において最も成功した手法の一つである。

ベクトル列は急速に線形従属に近づくため、クリロフ部分空間を用いる方法には、エルミート行列に対してはランチョス法、非エルミート行列に対してはアーノルディ法などの直交化手法が含まれることが多い。

主なクリロフ部分空間法として、アーノルディ法ランチョス法GMRES法(generalized minimum residual)、 BiCGSTAB法 (stabilized biconjugate gradient)、QMR法 (quasi minimal residual)、 TFQMR法 (transpose-free QMR)、MINRES法 (minimal residual) などが知られている。

参考文献[編集]