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ギブンス回転 （ギブンスかいてん、英 : Givens rotation ）あるいはギブンス変換 とは、行列
G
(
i
,
k
,
θ
)
=
[
1
⋯
0
⋯
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
⋯
cos
θ
⋯
sin
θ
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
⋯
−
sin
θ
⋯
cos
θ
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
⋯
0
⋯
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {G}}(i,k,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos \theta &\cdots &\sin \theta &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-\sin \theta &\cdots &\cos \theta &\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
による線型変換 である。ここで、sin θ は、i 行 k 列、k 行 i 列、cos θ は、i 行 i 列、k 行 k 列に出現する。行列 G i , k , θ) は行列式 が 1 の直交行列 であり、(i , k ) 平面での回転を表す。ギブンス回転の名はアメリカの数学者ウォレス・ギヴンス に由来する。
定義をより厳密に書けば、
G
(
i
,
k
,
θ
)
j
,
ℓ
=
{
cos
θ
if
j
=
i
,
ℓ
=
i
or
j
=
k
,
ℓ
=
k
,
sin
θ
if
j
=
i
,
ℓ
=
k
,
−
sin
θ
if
j
=
k
,
ℓ
=
i
,
1
if
j
=
ℓ
,
0
otherwise.
{\displaystyle {\boldsymbol {G}}(i,k,\theta )_{j,\ell }={\begin{cases}\cos \theta &{\mbox{ if }}j=i,\ell =i{\mbox{ or }}j=k,\ell =k,\\\sin \theta &{\mbox{ if }}j=i,\ell =k,\\-\sin \theta &{\mbox{ if }}j=k,\ell =i,\\1&{\mbox{ if }}j=\ell ,\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}
である。
積
G
(
i
,
k
,
θ
)
⊺
x
{\displaystyle {\boldsymbol {G}}(i,k,\theta )^{\intercal }{\boldsymbol {x}}}
x i , k ) 平面で θ ラジアン反時計回りに回転したベクトルである。
線型代数におけるギブンス回転の主な使用法は、相似変換 により行列に0の要素を増やすことである。この効果はたとえば行列のQR分解 の計算に採用される。ハウスホルダー変換 に対する利点は容易に並列化できることと、多くの疎行列に対して演算回数が少なくてすむということである。
参考文献 [ 編集 ] 出典 は列挙するだけでなく、脚注 などを用いてどの記述の情報源であるかを明記 してください。記事の信頼性向上 にご協力をお願いいたします。（2023年9月 ）
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 .
Bindel, D.; Demmel, J.; Kahan, W.; Marques, O. (2000), On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001. 
