単因子

代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義[編集]

$D$ を単項イデアル整域（たとえば整数環 $Z$ や複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ などのユークリッド整域）とする。また $M n \times m (D)$ を $D$ 成分の $n \times m$ 行列全体とし、特に $m = n$ のときは、これを $M n (D)$ と表すことにする。すべての行列 $A \in M n \times m (D)$ は、ある可逆行列 $P \in M n (D)$ と $Q \in M m (D)$ を使って次の形に変形できる^[1]。

PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}

ここで $e 1, \dots, e r \neq 0$ かつ $e 1 D \supseteq \dots \supseteq e r D$ である。このような $e 1, \dots, e r$ は単数倍を除いて一意に定まり^[2]、これを行列 $A$ の単因子という。右辺の行列は $A$ のスミス標準形 Smith normal form^[3] あるいは単因子標準形と呼ばれる。この行列 $P, Q$ は行列の基本変形をして求めることができる^[4]。

性質[編集]

$F$ を体とする。

行列 $A, B \in M n (F)$ が相似である必要十分条件は行列 $xI - A, xI - B \in M n (F [x])$ の単因子が一致することである^[5]。

行列 $A \in M n (F)$ の最小多項式は行列 $xI - A \in M n (F [x])$ の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する^[6]。

例[編集]

$D$ を複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ とする。次の行列 $A \in M 2 (C [x])$ の単因子は可逆行列 $P, Q \in M 2 (C [x])$ として以下の行列を取れば $1, (x - λ) 2$ とわかる。

A={\begin{pmatrix}x-\lambda &-1\\&x-\lambda \end{pmatrix}}

P={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}},\qquad Q={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&1\\-1&\end{pmatrix}}

PAQ={\begin{pmatrix}1&\\&(x-\lambda )^{2}\end{pmatrix}}

脚注[編集]

^ Jacobson 2009, Theorem 3.8.
^ Jacobson 2009, p. 185.
^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.
^ Jacobson 2009, p. 182.
^ 斎藤 1966, 系6.1.4, 定理6.1.8.
^ 斎藤 1966, 定理6.3.3.

参考文献[編集]

Hazewinkel, M.; Gubareni, N.; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, Rings and Modules. 1. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1
斎藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。ISBN 978-4-13-062001-7。

外部リンク[編集]

Weisstein, Eric W. "Invariant Factor". mathworld.wolfram.com (英語).

[FOOTNOTEJacobson2009Theorem_3.8-1] Jacobson 2009, Theorem 3.8.

[FOOTNOTEJacobson2009185-2] Jacobson 2009, p. 185.

[FOOTNOTEHazewinkelGubareniKirichenko2004181-3] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.

[FOOTNOTEJacobson2009182-4] Jacobson 2009, p. 182.

[FOOTNOTE斎藤1966系6.1.4,_定理6.1.8-5] 斎藤 1966, 系6.1.4, 定理6.1.8.

[FOOTNOTE斎藤1966定理6.3.3-6] 斎藤 1966, 定理6.3.3.

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