コレスキー分解

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コレスキー分解(コレスキーぶんかい)とは、正定値エルミート行列A下三角行列LL共役転置L*との積に分解すること。

\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^{*} \qquad (\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times m})

Aのエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。Lの対角成分は実数にとることができて(符号・位相の自由度があるが)通常は、対角成分を正に採り、その場合には、Lが一意に定まる。アンドレ=ルイ・コレスキーにちなんで名づけられた。

Aが実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。

\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^{T} \qquad (\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n})

エルミート対称行列Aが正定値であることと、Aのコレスキー分解が存在することは同値になる。

アルゴリズムの例[編集]

コレスキー法はガウスの消去法の改良版である。

ガウスの消去法はAの左方から順次Lを作用させ前進消去(LU分解に対応。)するが、

A(i)=LiA(i+1)    ( または、A(i+1)=Li-1A(i) )

コレスキー法はAを順次LL*で挟んで前進消去していくと考えればよい。

A(i)=LiA(i+1) Li*   ( または、A(i+1)=Li-1A(i) Li*-1 )

このときA(i+1)のエルミート性は保たれる。

詳細は以下の解説を参照。Aが実行列の場合は単純に、エルミート→対称、共役転置→転置と読み替えればよい。


コレスキー分解の再帰的アルゴリズムでは、まず最初にA(1)を下のように置く(定義する)。

\mathbf{A}^{(1)} := \mathbf{A}

以下、i回目のステップ。エルミート性を保ちながらA(i)のi行とi列を前進消去して A(i+1)を生成することを考える。 A(i)はi-1行・列まで前進消去されたエルミート行列であるので、下式のように書ける。

\mathbf{A}^{(i)}
=
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & a_{i,i} & \mathbf{b}_{i}^{*} \\
0 & \mathbf{b}_{i} & \mathbf{B}^{(i)}
\end{pmatrix}

ここで、Ii-1はi-1次の単位行列、 ai,iはi番目の対角要素、 biはi列目の下三角部、 B(i)は、A(i)のi+1行・列以降の部分でやはりエルミートある。次に、Li

\mathbf{L}_{i}
: =
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{a_{i,i}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{a_{i,i}}} \mathbf{b}_{i} & \mathbf{I}_{n-i}
\end{pmatrix}

と定義するとA(i)は、

\mathbf{A}^{(i)}
=
\mathbf{L}_{i}
\mathbf{A}^{(i+1)}
\mathbf(\mathbf{L}_{i})^{*}

と書ける。( A(i+1) = Li-1 A(i) Li*-1 より。)ここで、A(i+1)


\mathbf{A}^{(i+1)}
 =
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \mathbf{B}^{(i)} - \frac{1}{a_{i,i}} \mathbf{b}_{i} \mathbf{b}_{i}^{*}
\end{pmatrix}

である。( .ここでbi bi* は、行列の積。 )

以上が、i回目のステップ。A(i)からA(i+1)が計算出来たことになる。 nをAの次数として、このステップをn回繰り返すとA(n+1) = Inとなりコレスキー分解は終了する。

\mathbf{A}^{(1)} = \mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2} \dots \mathbf{L}_{n} \mathbf{A}^{(n+1)} \mathbf{L}_{n}^{*} \dots \mathbf{L}_{2}^{*} \mathbf{L}_{1}^{*}

であり、

\mathbf{L} := \mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2} \dots \mathbf{L}_{n}

と置くと、(これが最終的に求めるLである。)

\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^{*}

であることが確認できる。


コレスキー・バナキエヴィッツ法[編集]

コレスキー・バナキエヴィッツ法 は直接下三角行列 L の各エントリを計算するための式を与える。行列 L の左上隅から始めごとに計算を進める。

 l_{i,i} = \sqrt{ a_{i,i} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{i,k} \overline{l_{i,k}} }
 l_{i,j} = \frac{1}{l_{j,j}} \left( a_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{i,k} \overline{l_{j,k}} \right), \qquad\mbox{for } i>j

コレスキー・クラウト法[編集]

コレスキー・クラウト法 はコレスキー・バナキエヴィッツ法とは少し異なる方法で、下三角行列Lの各エントリを計算する。すなわち、行列Lの左上隅から始めごとに計算を進める。使用する計算式はコレスキー Banachiewicz 法と同一である。

修正コレスキー分解[編集]

上述した分解法では、分解後の行列Lに無理数が現れることがほとんどで、コレスキー分解の結果を利用した計算が面倒となる。そこで、この欠点を解消するために考え出された方法が修正コレスキー分解である(改訂コレスキー分解と呼ぶことがある)。修正コレスキー分解では、Aが正定値行列である必要はなく

A=LDL*

の形に分解する。ここで、Dは対角行列で、行列Lの対角成分はすべて1とする。

注意:修正コレスキー分解は行列Aが正則であっても常に存在するとは限らない(たとえば2次の対角要素がすべて0で非対角要素が1である対称な正則行列を考えよ)。

不完全コレスキー分解[編集]

不完全コレスキー分解は、修正コレスキー分解により行列Aを

A=LDL*

と分解するところ、行列Lを後の計算が簡略化されるものに変更し、

A=LDL*+N

と分解する手法である(Nはある行列で,この不完全分解の残差の行列である)。

共役勾配法(傾斜法)の前処理の1つとして採用されることがある。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

Cholesky分解ノート(要Acrobat Reader)