三角行列

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三角行列さんかくぎょうれつ、Triangular matrix)とは対角線の左下、または右上が全て零であるような正方行列のことである。左下が零のものを上三角行列といい、右上が零であるものを下三角行列という。

上三角行列:


\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\
     0   & a_{22} & \ddots &        & \vdots \\
     0   &    0   & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\
     0   &    0   & \cdots &    0   &  a_{nn}
\end{pmatrix}

下三角行列:


\begin{pmatrix}
  a_{11} &    0   &    0   &   \cdots  & 0 \\
  a_{21} & a_{22} &    0   &   \cdots  & 0 \\
  \vdots & \ddots & \ddots &   \ddots  & \vdots \\
  \vdots &        & \ddots &   \ddots  & 0 \\
  a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{pmatrix}

性質[編集]

  • 上三角かつ下三角な正方行列は対角行列である。
  • 上(下)三角行列同士は足してもかけても上(下)三角行列である。
  • 三角行列の行列式は対角成分の積で表される。よって、どの対角成分も零でなければ、三角行列は逆行列を持つ。
  • n 次の、可逆な上三角行列の全体 B または可逆な下三角行列の全体 B' は一般線型群 GLn部分群を成す。
  • n対角行列全体の集合の GLn における正規化群を N とすると、(B, N) あるいは (B' , N) は GLnBNペアになる。

関連項目[編集]