逆べき乗法

逆べき乗法（ぎゃくべきじょうほう）もしくは逆反復（法）とは、ある $n\times n$ の行列 $\mathbf {A}$ が正則行列であるときに、行列 $\mathbf {A}$ の固有値のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル $\mathbf {y} ^{(0)}$ から始めて、逐次

\mathbf {y} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} ^{(k-1)}

を計算することで、 $\mathbf {y} ^{(k)}$ が $\mathbf {A}$ の絶対値最小の固有値 $\lambda _{n}$ に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

\lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k)}}{\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k-1)}}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としてはべき乗法が有名である。逆べき乗法は行列 $\mathbf {A} ^{-1}$ に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

参考文献[編集]