半直積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

群論において、半直積(はんちょくせき、: semidirect product)とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義[編集]

内部半直積[編集]

ふたつの N, H に対して NH による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = NH と表す[1]

  • N は群 G正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
  • NH は自明な共通部分をもつ:NH = 1

G を群とし、H をその部分群、N を正規部分群 (NG) とすると、以下は同値である。

  • G = NH かつ NH = 1.
  • G のすべての元は積 nh (nN, hH) として一意的に書ける。
  • G のすべての元は積 hn (hH, nN) として一意的に書ける。
  • 自然な埋め込み HG を自然な射影 GG / N と合成すると、H商群 G / N の間の同型写像となる。
  • H 上恒等写像でN の群準同型 GH が存在する。

外部半直積[編集]

G を正規部分群 N と部分群 H の(内部)半直積であるとする。Aut(N)N のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 φ: H → Aut(N)群準同型である。φ(h) = φh, ただしすべての hHnN に対し、φh(n) = hnh−1.(NG の正規部分群であるから hnh−1N であることに注意。)N, H, φ の三つ組は以下で示すように G を同型の違いを除いて決定する。

2つの群 NH(与えられた群の部分群である必要はない)と群準同型 φ: H → Aut(N) が与えられると、次のように定義される、φ に関する NH の(外部半直積と呼ばれる新しい群 を構成することができる[2][3]

  • 集合としては、デカルト積 N × H である。
  • の元の乗法は、準同型 によって決定される。演算は n1, n2Nh1, h2H に対して
によって定義される
である。

これは群を定め、単位元は (1N, 1H) で、(n, h) の逆元は (φh−1(n−1), h−1) である。対 (n, 1H) 全体は N と同型な正規部分群をなし、対 (1N, h) 全体は H に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群 G と正規部分群 N と部分群 H が与えられていて、G のすべての元 g が一意的に g = nh, ただし nN, hH, の形に書けるとしよう。φ : H → Aut(N)φ(h) = φh、ただしすべての nN,hH に対して

によって与えられる準同型とする。すると G は半直積 に同型である。同型写像は積 nh を対 (n,h) に送る。G において次が成り立ち

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、φ を自明な準同型、すなわち H のすべての元を N の恒等自己同型に送るものとしよう。すると は直積 である。

ホモロジー代数的定義[編集]

N の 群 H による半直積とは、分裂する短完全列

を持つような群 G のことである[4][5]。ここで、短完全列が分裂するとは切断 s : HG が存在することである。(つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。)

導入[編集]

定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。n 次元アフィン変換

n 次元一般線型変換 n次元の並進変換 を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを で表し、n 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 の合成変換を考えると、

である。従って、アフィン変換群 の群演算は、

となり、 の単純な直積群ではないことが分かる。しかし は共に の部分群を成し、とくに 正規部分群になる。 このような関係をさらに一般化したものが半直積である[6]

[編集]

直積[編集]

直積群は半直積群でもある。

二面体群[編集]

位数 2n二面体群 D2n は位数 n巡回的正規部分群 Cn の位数 2 の巡回群 C2 による半直積である[7]

標準ボレル部分群[編集]

一般線型群上三角行列からなる部分群 B を取る。 U を対角成分がすべて 1 からなる群 B の部分群とし、 T対角行列からなる群 B の部分群とする。このとき次が成り立つ[8]

アフィン変換群[編集]

正則アフィン変換からなる群 GA(V) = VGL(V) も半直積の例である。

半直積で表せない例[編集]

位数 8四元数群 Q8 = 〈 i, j, k | i2 = j2 = k2 = ijk は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない[5]

性質[編集]

位数[編集]

位数はそれぞれの積である。

埋め込み[編集]

もとの群は半直積群に埋め込まれる。 つまり、ふたつの単射準同型写像 NNHHNH がある。 さらに N の単射準同型像は NH正規部分群で、その剰余群H同型である。

異なる作用における同型[編集]

一般に、ふたつの異なる群作用 φ, ψ : H → Aut(N) が非同型な半直積群を定めるとは限らない[9]。 もし H が巡回群で作用 φ, ψ単射かつ φ(H) = ψ(H) を満たすならば Nφ HNψ H である[10]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Alperin & Bell 1995, p. 20.
  2. ^ Robinson, Derek John Scott (2003). An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter. pp. 75–76. ISBN 9783110175448. 
  3. ^ Alperin & Bell 1995, p. 22.
  4. ^ Rotman 2008, p. 500.
  5. ^ a b Alperin & Bell 1995, p. 26.
  6. ^ 小林俊夫・大島利雄 『Lie群とLie環 1』、岩波書店、1999年、pp6-8。
  7. ^ Alperin & Bell 1995, Proposition 2.13.
  8. ^ Alperin & Bell 1995, Proposition 5.1.
  9. ^ Alperin & Bell 1995, p. 23.
  10. ^ Alperin & Bell 1995, Proposition 2.11.
  11. ^ Alperin & Bell 1995, p. 81.

参考文献[編集]