零行列

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数学において、零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)とは、その成分(要素)が全て 0 の行列O あるいは 0 と記述されることが多い。

0 = \begin{pmatrix}
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0      \\
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0      \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0 
\end{pmatrix}

また、下付き添字によって行列の型を明記することもある。

 O_2 = O_{2,2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
O_{2,3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

自明な線形変換である零作用素を表す行列であり、正方行列の場合には行列環の零元を与えている。

性質[編集]

以下、l, m, n は任意の自然数とする。

  • mn 列の零行列 Omn 列の任意の行列 A の和は A + O = O + A = A となり、差は A - O = A, O - A = -A となる。
  • lm 列の零行列 Omn 列の任意の行列 A の積 OA は、ln 列の零行列となる。
  • lm 列の任意の行列 Bmn 列の零行列 O の積 BO は、ln 列の零行列となる。

これらのことから、n 次の正方行列全体のなすを考えているとき、零行列はその零元になる。

関連項目[編集]