ベル多項式

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組合せ数学におけるベル多項式(ベルたこうしき、: Bell polynomials)とは、エリック・テンプル・ベル英語版の名にちなむ、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。

ただしこの和は、

を満たすすべての非負整数の列 j1, j2, j3, ..., jnk+1 について取られている。

完全ベル多項式[編集]

次の和

はしばしば n完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 Bnk はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。

組合せ論的な意味[編集]

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例えば、次が得られる。

なぜならば

6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り
6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り
6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通り

だからである。同様に

が得られる。なぜならば

6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り
6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り
6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通り

だからである。

性質[編集]

スターリング数とベル数[編集]

ベル多項式 Bn,k(x1,x2,...) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数である。すなわち

である。次の和

は、n 番目のベル数で、これはサイズ n の集合の分割の数に等しい。

畳み込みの等式[編集]

数列 xn, yn, n = 1, 2, ..., に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。

.

ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n − 1 であることに注意されたい。

を次の列の第 n 番目の項とする。

このとき、次が成り立つ。

例えば、 を計算する。このとき

であるため、

となる。

ベル多項式の応用[編集]

ファー・ディ・ブルーノの公式[編集]

ベル多項式を用いることで、ファー・ディ・ブルーノの公式英語版は次のように書き表すことが出来る。

同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことが出来る。今

とすれば、

となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。

モーメントとキュムラント[編集]

次の和

は、初めの n 個のキュムラントが κ1, ..., κn であるような確率分布nモーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。

二項型の多項式列による表現[編集]

任意のスカラー列 a1, a2, a3, ... に対し、次を定める。

このとき、この多項式列は二項型英語版である。すなわち、二項等式

n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。

定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。

とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し

が成り立つ。

ソフトウェア[編集]

  • ベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、Mathematicaにおいては BellY で、Maple においては BellB で、Sage においては bell_polynomial で計算することが出来る。

関連項目[編集]

参考文献[編集]