十二進法

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十二進法(じゅうにしんほう)は、12(てい)とし、底およびそのを基準にして数を表す方法である。

記数法[編集]

整数[編集]

3つ組が4つ集まると「10」になる。小数も、0.3×4 = 1 となる。

十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、A , 十一B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと 12倍 になり、右に一桁動くと 1/12 になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。

(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。

同様に、十二進記数法では、(39)1245 (3×121 + 9) を、(50)1260 (5×121) を、(100)12144 (1×122) を、(1A6)12270 (1×122 + 10×121 + 6) を、(500)12720 (5×122) を、(1000)121728 (1×123) を、(11A8)122000 (1×123 + 1×122 + 10×121 + 8) を、(6000)1210368 (6×123) を、(10000)1220736 (1×124) を、それぞれ意味する。

従って、十進法の「 45 × 16 = 720 」は、十二進法では「 (39)12 × (14)12 = (500)12 」と表記される。また、六十進法の補助基数を十進法から十二進法に直すと、例えば「10 時 30 分」は「(A)12 時 (26)12 分」と表記され、「 2,15 ÷ 20 = 6;45 」は「 (2,13)12 ÷ (18)12 = (6;39)12 」と表記され、その意訳「 135 ÷ 20 = 6+(45/60) 」も「 (B3)12 ÷ (18)12 = {6+(39/50)}12 」 となる。

累乗数の換算表[編集]

以下の表に、十二進数で表記した十二累乗数と、それを六進数(底が三の二倍)、十進数(底が五の二倍)、二十進数(底が五の四倍)に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。

十二進数は底が三の四倍で、二十進数と同じく「底が奇数の四倍」であるが、桁の繰り上がりが三~四桁レベルでは十進数より一倍半から二倍ほど遅く{ (10000)12 = (20736)10 }、二十進数より二倍半から五倍ほど速い{ (5000)12 = (11C0)20 }。また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する{両者とも(300万)10前後。(10A3A28)12 = (100000)20 = (3200000)10 }。同じ「底が三の偶数倍」である六進数とでは、三乗では六進数より八倍遅く、四乗では六進数より十六倍遅い{ (10000)12 = (240000)6 }。

十二の累乗数の換算
指数 十二進数 六進数に換算 十進数に換算 二十進数に換算
1乗 10 20 12 C
2乗 100 400 144 74
3乗 1000 1 2000 1728 468
4乗 1 0000 24 0000 2 0736 2BGG
5乗 10 0000 520 0000 24 8832 1 B21C
6乗 100 0000 1 4400 0000 298 5984 I D4J4
7乗 1000 0000 33 2000 0000 3583 1808 B3 IJA8
8乗 1 0000 0000 1104 0000 0000 4 2998 1696 6E7 7E4G
9乗 10 0000 0000 2 2120 0000 0000 51 5978 0352 40C8 CAHC
(A乗)12 (10乗)10 100 0000 0000 44 2400 0000 0000 619 1736 4224 2 8793 AAB4
(B乗)12 (11乗)10 1000 0000 0000 1325 2000 0000 0000 7430 0837 0688 19 09A2 66E8
(10乗)12 (12乗)10 1 0000 0000 0000 3 0544 0000 0000 0000 8 9161 0044 8256 H8 5E17 G0CG

小数[編集]

桁が一つ動く度に数が12倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では、(0.1)12 は 1/12 (1÷121, 1×12-1) を、(0.5)12 は 5/12 (5×12-1) を、(0.01)12 は 1/144 (1×12-2) を、(0.03)12 は 3/144 (3×12-2) を、(0.14)1216/144 (1×12-1 + 4×12-2) を、(0.001)12 は 1/1728 (1×12-3) を、それぞれ意味する。

小数の計算例[編集]

(3.9)12×6 = (1A.6)12

小数の (3.9)12 は「45/12」を意味し、小数の (0.39)12 は「45/144」という意味になる。従って、十進数の 3.75 は十二進数では (3.9)12 となり、十進数の 0.3125 は十二進数では (0.39)12 となる。前者は 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となり、後者は 3125/10000 (= 3125/104 = 5/16) と 45/144 (= 45/122 = 5/16) が同値になるからである。

  • (390)12 = 3×122 + 9×121 = (540)10
  • (39)12 = 3×121 + 9 = (45)10
  • (3.9)12 = 3 + 9×12-1 = 45/12 = 15/4 = (3.75)10
  • (0.39)12 = 3×12-1 + 9×12-2 = 36/144 + 9/144 = 45/144 = 5/16 = (0.3125)10

同じく、十二進法の (0.39)12×(6)12 の積は (1.A6)12 となり、(3.9)12×(6)12 の積は (1A.6)12 となる。

  • (1A6)12 = 1×122 + 10×121 + 6 = (270)10
  • (1A.6)12 = 1×121 + 10 + 6×12-1 = 270/12 = 90/4 = (22.5)10
  • (1.A6)12 = 1 + 10×12-1 + 6×12-2 = 1 + 120/144 + 6/144 = 270/144 = 30/16 = (1.875)10

これらの数式を十進法の小数や分数に換算すると、以下のようになる。

  • 数式A
    • 十二進法:(39)12 × (6)12 = (1A6)12
    • 十進法に換算:45 × 6 = 270
  • 数式B
    • 十二進法:(3.9)12 × (6)12 = (1A.6)12
    • 十進法の小数に換算:3.75 × 6 = 22.5
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/12 (= 45/121) × 6 = 270/12 (= 270/121)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(15/4) × 6 = (90/4)
  • 数式C
    • 十二進法:(0.39)12 × (6)12 = (1.A6)12
    • 十進法の小数に換算:0.3125 × 6 = 1.875
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/144 (= 45/122) × 6 = 270/144 (= 270/122)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(5/16) × 6 = (30/16)
y年mヶ月の計算

十二進法の小数では、(0.1)10 が (1/12)10なので、そのまま1ヶ月を「0.1」、6ヶ月を「0.6」、10ヶ月を「0.A」として計算することができる。

  • 乗除

上記の (3.9)12×6 = (1A.6)12 の数式を月数に当て嵌め、数式Bの小数第一位をmヶ月、整数をy年とすると、(3.9)12は3年9ヶ月、(1A.6)12は22年6ヶ月と見なすこともできる。12倍した数式Aの整数第一位をmヶ月とすると、(39)12 は3年9ヶ月=45ヶ月、(390)12は45年=540ヶ月、(1A6)12は22年6ヶ月=270ヶ月となる。

  • 加減

「2000年3月から1977年11月までは、22年4ヶ月離れている。」は、「 (11A8.3)12 - (1189.B)12 = (1A.4)12 」と表記される。この数式を十進法に直すと、「 {2000+(3/12)} - {1977+(11/12)} = {1999+(15/12)} - {1977+(11/12)} = {22+(4/12)} 」となる。(1A.4)12 を12倍した (1A4)12 は 268 で、(1A4)12=22年4ヶ月=268ヶ月ということになる。

57.6÷9

57.6÷9 および (57.6)12 ÷ (9)12 の商は、以下の通りとなる。

  • 十進法: 57.6 ÷ 9 = 6.4
  • 十二進法: (57.6)12 ÷ (9)12 = (7.6)12

桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、(576)10 は 64×9 だが、(576)12 は 810、つまり 90×9 である。(576)12を桁で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。

更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では (400)12 ÷ (9)12 = (54)12 となる。

  • 十進法: 576 ÷ 9 = 64
  • 十二進法: (400)12 ÷ (9)12 = (54)12

(576)10 を桁で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で (400)12となる。(50)12 は 60 なので、4 を加えた (54)12 も 64 に等しい。別の言い方をすると、「五六個の九分割は六十四個」は「四グロスの九分割は五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。

576÷9の商
十二進法 十進法に換算
576÷9 = 76 810÷9 = 90
400÷9 = 54 576÷9 = 64
十の累乗数の除算

十の累乗数、すなわち十進法の (100)10 や (1000)10 は3で割り切れないが、十二進法では割り切れる(六進法も同様)。十進法の (100)10 は十二進法では (84)12、十進法の (1000)10 は十二進法では (6B4)12 となる(→他の商は後述)。

「100」分率

十二進法で「100」を満点や全体値とすると、十進法の「百分率」に対して、十二進法では「百四十四分率」となる。百四十四分率をそのまま十二進数で適用すると、3や6や9では割り切れるが、5やA(十)では割り切れない。

  • 十二進法:(100)12 ÷ 3 = (40)12
  • 十進法に換算:144 ÷ 3 = 48
  • 十二進法:(100)12 ÷ 5 = (24.9724…)12
  • 十進法に換算:144 ÷ 5 = 28.8

一桁小数による分割[編集]

十二進法では (0.1)12 が「十二分の一」になるため、(0.3)121/4 になり、(0.4)121/3 になり、(0.6)121/2 になり、(0.A)12(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/n として分数化できる一桁小数として、(0.8)122/3 となり、(0.9)123/4 となる。

従って、ある数値に (0.4)12 を掛けると 1/3 になり、(0.9)12 を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる。他のN進法との連関では、1/3 である (0.4)12六進法の (0.2)6 と同値になり、1/4 である (0.3)12二十進法の (0.5)20 と同値になる。

十進法での「五五分」は、十二進法では「六分六分」となり、四分割は「1/4:3/4」を意味する語として「三分九分」「3:9」、三分割は「1/3:2/3」を意味する語として「四分八分」「4:8」といった方法で表現できる。また、十進法による「腹八分目」{(0.8)10、(0.9724…)12}の近似値は、十二進法では 0.A 即ち「腹十分目」になる。同じく、十進法による割分厘を十二進法による割分厘に直すと、十進法による「2割5分」は「0.3」「3割」となり、十進法による「三割打者」{(0.3)10、(0.37249…)12}の近似値は 0.4 即ち「打率1/3」で「四割打者」という言い方になる。

8倍と0.8
  • 十二を掛ける:(76)12 × (10)12 = (760)12(十進法:90の 12倍 は1080。六進法:230 × 20 = 5000)
  • 8を掛ける: (76)12 × (8)12 = (500)12(十進法:90の 8倍 は720。六進法:230 × 12 = 3200)
  • 0.8を掛ける:(760)12 × (0.8)12 = (500)12(十進法:1080の 2/3 は720。六進法:5000 × 0.4 = 3200)
除算と一桁小数
  • 除算:(500)12 ÷ (3)12 = (180)12(十進法:720 ÷ 3 = 240。六進法:3200 ÷ 3 = 1040)
  • 一桁小数を掛ける:(500)12 × (0.4)12 = (180)12(十進法:720の 1/3 は240。六進法:3200 ×0.2 = 1040)
  • 一桁小数を掛ける:(500)12 × (0.8)12 = (340)12(十進法:720の 2/3 は480。六進法:3200 ×0.4 = 2120)
  • 除算:(760)12 ÷ (4)12 = (1A6)12(十進法:1080 ÷ 4 = 270。二十進法:2E0 ÷ 4 = DA)
  • 一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.3)12 = (1A6)12(十進法:1080の 1/4 は270。二十進法:2E0 × 0.5 = DA)
  • 一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.9)12 = (576)12(十進法:1080の 3/4 は810。二十進法:2E0 × 0.F = 20A)

小数との置換表[編集]

以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二はと四では割り切れるがでは割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。五が対応できなくても四と三が対応できることから、十二進法は「小から大へ」の分割法を採っているのが特徴である。

十二進法の小数と除算
除数 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
被除数が1 0.6 0.4 0.3 0.2497 0.2 0.186A35 0.16 0.14 0.12497 0.111 0.1
被除数が5 2.6 1.8 1.3 1 0.A 0.86A351 0.76 0.68 0.6 0.555 0.5
被除数が8 4 2.8 2 1.7249 1.4 1.186A35 1 0.A8 0.9724 0.888 0.8
被除数がA
(十進法の10
5 3.4 2.6 2 1.8 1.5186A3 1.3 1.14 1 0.AAA 0.A
被除数が10
(十進法の12)
6 4 3 2.4972 2 1.86A351 1.6 1.4 1.2497 1.111 1
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 4.3 3.4972 2.A 2.5186A3 2.16 1.A8 1.84972 1.666 1.5
被除数が26
(十進法の30)
13 A 7.6 6 5 4.35186A 3.9 3.4 3 2.888 2.6
被除数が50
(十進法の60)
26 18 13 10 A 8.6A3518 7.6 6.8 6 5.555 5
被除数が76
(十進法の90)
39 26 1A.6 16 13 10.A35186 B.3 A 9 8.222 7.6
被除数が84
(十進法の100
42 29.4 21 18 14.8 12.35186A 10.6 B.14 A 9.111 8.4
被除数が100
(十進法の144)
60 40 30 24.9724 20 18.6A3518 16 14 12.4972 11.111 10
被除数が294
(十進法の400
148 B1.4 84 68 56.8 49.186A35 42 38.54 34 30.444 29.4
被除数が6B4
(十進法の1000
358 239.4 18A 148 11A.8 BA.A35186 A5 93.14 84 76.AAA 6B.4
十二進法の小数と分数(五分割まで)
分数 1/2 (= 2/4) 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
被除数が1 0.6 0.4 0.8 0.3 0.9 0.2497 0.4972 0.7249 0.9724
被除数が3 1.6 1 2 0.9 2.3 0.7249 1.2497 1.9724 2.4972
被除数が5 2.6 1.8 3.4 1.3 3.9 1 2 3 4
被除数が8 4 2.8 5.4 2 6 1.7249 3.2497 4.9724 6.4972
被除数が9 4.6 3 6 2.3 6.9 1.9724 3.7249 5.4972 7.2497
被除数が10
(十進法の12)
6 4 8 3 9 2.4972 4.9724 7.2497 9.7249
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 B.4 4.3 10.9 3.4972 6.9724 A.2497 11.7249
被除数が26
(十進法の30)
13 A 18 7.6 1A.6 6 10 16 20
被除数が50
(十進法の60)
26 18 34 13 39 10 20 30 40
被除数が76
(十進法の90)
39 26 50 1A.6 57.6 16 30 46 60
被除数が260
(十進法の360)
130 A0 180 76 1A6 60 100 160 200
無理数の換算表
主な無理数 十二進法 十進法
円周率 約3.184809 約3.141592
2の平方根 約1.4B7917 約1.414213
3の平方根 約1.894B97B 約1.7320508
5の平方根 約2.29BB132 約2.2360679

乗算表[編集]

ここでは、(10)10を A 、(11)10を B と表記する。

乗算表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
2 0 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A
3 0 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29
4 0 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38
5 0 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47
6 0 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56
7 0 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65
8 0 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74
9 0 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83
A 0 A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92
B 0 B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1
倍数表
乗数 101 101の十進表記 102 102の十進表記 103 103の十進表記
1 10 12 100 144 1000 1728
2 20 24 200 288 2000 3456
3 30 36 300 432 3000 5184
4 40 48 400 576 4000 6912
5 50 60 500 720 5000 8640
6 60 72 600 864 6000 10368
7 70 84 700 1008 7000 12096
8 80 96 800 1152 8000 13824
9 90 108 900 1296 9000 15552
A A0 120 A00 1440 A000 17280
B B0 132 B00 1584 B000 19008

命数法[編集]

十二進命数法とは、12 を底とする命数法である。

数詞[編集]

自然言語で十二進命数法の数詞を持つものは少ない。ナイジェリアのジャンジ語[1] (Janji)、ビリ・ニラグ語[2] (Gbiri-Niragu)、グワンダラ語ニンビア方言[3] (Nimbia)、ピティ語[4] (Piti) などが十二進命数法のグループを作り[5]、またネパールのチェパン語[6] (Chepang) も十二進命数法を用いている[7]

10 ではなく 12 が底になった理由として、片手の人さし指から小指の計 12 個の節を親指で示す数え方が示唆されている[8]

以下にグワンダラ語ニンビア方言の数詞を示す[5]

1 da
2 bi
3 ugu
4 furu
5 biyar
6 shide
7 bo'o
8 tager
9 tanran
10 gwom
11 kwada
12 tuni
13 tuni mbe da
24 gume bi
25 gume bi ni da
143 gume kwada ni kwada
144 wo


ゲルマン語派の数詞は 12 以下と 13 以上とで構成が異なる。以下に英語ドイツ語スウェーデン語の数詞を示す。

英語 ドイツ語 スウェーデン語
10 ten zehn tio
11 eleven elf elva
12 twelve zwölf tolv
13 thirteen dreizehn tretton
14 fourteen vierzehn fjorton

11, 12 の数詞の語源はそれぞれ 1 余り、2 余りを意味する *ainlif, *twalif であり、十二進法ではなく十進法に基づく数詞だが、13 以上と構成が異なるのを十二進法の影響とする説がある。

英語の hundred など、現在 100 を意味する語は、中世までは 120 を意味することがあった(en:Long hundred を参照)。ロジバンは 10, 11, 12 に個別の数詞があり、十二進法に対応している(実際には十六進法にまで対応する)。

単位系[編集]

現在、十二進法はもっぱら単位系で使われている。数は十進記数法で 9, 10, 11 と表し、12144 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる。

単位の十二進法は、言語の数詞とは無関係に発生したと考えられる。1 年がほぼ 12 かであること(360 ÷ 30 = 12。満月新月の回数がほぼ 12 回)に因むとされる。メソポタミア文明ではこれが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と同様に主に時間を示す際の基数となった。1 日 24 時間の 24 は 12 の 2 倍であり、六十進法60 は 12 と 30 の最小公倍数である。黄道十二宮はこれに基づく。中国十二支も黄道十二宮と同じように、循環する十二進法である。

また 12 は 3×4 であり、1 とその数以外の約数2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、分割に便利である点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。1 とその数以外の 10 の約数は 2 と 5 の 計 2 個しかない。例えば、通貨を3単位×4の十二進法にすると、1728 (= 123) の貨幣を 12 (= 121) と 36 (= 121×3、122÷4) と 144 (= 122) と 432 (= 122×3、123÷4) の四種類の貨幣に分けて、「432の貨幣が2枚」で二分割(1728÷2 = 864)したり、「432の貨幣が1枚 + 144の貨幣が1枚」で三分割(1728÷3 = 576)したり、「432の貨幣が1枚」で四分割(1728÷4 = 432)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が2枚」で八分割(1728÷8=216)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が1枚 + 12の貨幣が1枚」で九分割(1728÷9=192)したりすることが可能になる。後述のペンス通貨やアス通貨が、このような三分割と四分割を考慮した単位に該当する。

日本では、12 ヶ月を 1 年というのに対して、144 ヶ月 (= 12 年) を 1 回りという。

物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 122)、グレートグロス (1728 = 123)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。1971年2月15日まで、イギリスポンドは、1 ポンドは 240 ペンスであり、12 ペンスが 1 シリング、20 シリングが 1 ポンドであった。

この他にも、ヤード・ポンド法は十二進法が主流であり、長さの 1 フィート = 12 インチ = 144 ライン = 1728 ポイントである。同じく、1 トロイポンド = 12 トロイオンス = 144 スカラプル = 1728 シードである。プラモデルの縮尺に 1/144 (= 12-2) が多いのも、12 フィートすなわち 144 インチを逆数にしたサイズが由来である。

また、ローマ帝国の数詞や単位は十進法が通例であったが、アス (as) 通貨は異例で十二進法を想定した単位を設定した。アス通貨の下部単位として、1/2 アスのセミス (semis)、1/3 アスのトリエンス (triens)、2/3 アスのベス (bes)、1/4 アスのクォドランス (quadrans)、3/4 アスのドドランス (dodrans)、1/6 アスのセクスタンス (sextans)、1/12 アスのウンシア (uncia)、5/12 アスのクインクンクス (quincunx) が使用されており、中でも semis は「半」を意味する接頭辞 "semi-" の語源にもなっている。しかし、1/144 アス (= 1/12 ウンシア) や 12 アス (= 144 ウンシア) の単位は設定されず、1/24 アスのセミウンシア (semiuncia) と 2 アス (= 24 ウンシア)のデュポンディウス (dupondius) のみであった。

他の単位との関連[編集]

十二進法は分割が容易である反面、12の累乗数(144172820736…)が度数法など「累乗数ではないが、分割が容易な数による単位」とは齟齬を生みやすいという問題もある。これは、「十二の累乗数に解けない物は無い」という過信が原因である。十二進法は「144点満点」「144分割」の数値観なのに対して、度数法は「360点満点」「360分割」の数値観になり、両者では数値の割合が大きく変化する。特に、「」を用いる単位の満点を (144)10 とする場合、この点が問題となる。十二進数に直すと、(144)10は(100)12に対して、(360)10は(260)12となる(→こちらも参照)。

十二進法と度数法の比率差異(数字は十二進表記)
単位 満点 100
(144)10
260
(360)10
500
(720)10
760
(1080)10
76
(90)10
60
(72)10
50
(60)10
26
(30)10
16
(18)10
十二進法 100 1倍
(=全体値)
2倍半 5倍 7倍半 5/8 1/2 5/10
(=5/12)10
5/20
(=5/24)10
1/8
度数法 260 2/5 1倍
(=全体値)
2倍 3倍 1/4 1/5 1/6 1/10
(=1/12)10
1/18
(=1/20)10

例えば、日数を十二進数で書くと「1ヶ月は26日、2ヶ月は50日、3ヶ月は76日」、角度を十二進数で書くと「直角は76度、平角は130度、1周は260度、2周は500度、3周は760度」となるのに対して、摂氏温度計を(144)10度=(100)12度沸点にすると、沸点の5/8即ち(62.5)10度が76度となり、沸点の3/8即ち(37.5)10度が46度、沸点の1/8即ち(12.5)10度が16度となる。別の見方をすると、(260)12は「十二の三十倍」即ち「1世代=(30)10年=(26)12年」と見ることもできる。派生して、(500)12は機械的な十二進法では「5×(122)10」と見なされるが、三十を全体値とする時間の単位では「(60)10年0ヶ月」「十二の六十倍」「三十の二倍」と見ることもできる。

約数を見ても、(500)12や(760)12など「(260)12の倍数」は7以外の1からA1010)までの全てで割り切れるが、(100)12や(1000)12など「十二の累乗数」は39では割り切れるが5では割り切れない。例えば、(1000)12は 8×8×2312(2710 = 33) に分解できるのに対して、(760)12は 5×8×2312(2710) に分解できる。つまり、(1000)12を5/8に縮めるだけで、7以外の1からA(1010)までの全てと23(2710)で割り切れることになる。従って、十二進数で5でも割り切れるようにするには、18(2010)、26(3010)、50(6010)、76(9010)、A0(12010)、260(36010)、760(108010)、1060(180010)といった5の倍数で単位を設定せねばならない。なお、「1÷5」「10÷5」「100÷5」「1000÷5」を割り切るには、十進法二十進法など「底が5で割り切れる」N進法に変更することになる。この場合、十二進法とは逆で1/3が割り切れないという不便が発生するが、二十進法であれば一桁で1/4と1/5が可能である。

また、十二進数で百四十四分率を度数法に直す際には、2.6を掛ける(2倍半にする)と求められる{例:(30)12×(2.6)12 = (76)12。(30/100)12 = (76/260)12 = 1/4}。

指数え[編集]

十二進法の指数えは、同じ3で割り切れる六進法とは様相が異なる。十二進法の指数えは、親指が指標となり、各指の3つの指骨(末節骨 ・中節骨・基節骨)を小指から数える。片手を一の位、もう片手を十二の位として、片手で12まで数えて、もう一方の手に繰り上げて144まで数える [9][10] (実際は十三進法を用いて168まで数えられるが、一般的ではない)。

架空の世界での使用[編集]

SF作品でも、人類と異なる文明が十二進法を使っているとする設定はよく見られるものである[11]

H・G・ウェルズは『冬眠二百年』(When the Sleeper Wakes, 1899年)や『モダンユートピア』(A Modern Utopia, 1905年)で十二進法を使用し、12 = dozen, 144 (=122) = gross, 1728 (=123) = dozand, 20736 (=124) = myriad としている。

J・R・R・トールキンによる人工言語エルフ語 (Elvish) の数詞は十二進法である。

十二進法の推進[編集]

英米では、十二進法を採用するよう主張する人々がいる[12][13]。人間の手指の数に由来する、原始的で、2と5でしか割り切れない十進法より、3でも4でも割り切れる十二進法の方が理に適っているとされるためである。これらの人々は、十二進法を表す語として、英語で通常使われる duodecimal ではなく、dozenal を使う。なお、dozenal に相当するスペイン語は、doce(十二)を形容詞化した docenal である。十一を意味する数字には AB を用いず、十 を T または X 、十一 を E で、或いはその変形で表したり、十 を * で、十一を # で表したりする。これらの十二進法推進団体は、百分率(パーセント:記号は「%」)に代わって百四十四分率(パーグロス:記号は"per gross"を縮めた「p/g」)の使用を主張したり、周角の360度(十二進法で260度)から144度(十二進法で100度)への変更も主張している[14]

なお、十進法以外の採用を進めようという主張は、近年ではコンピュータ二進法との相性から八進法十六進法についても主張されている。しかし、八進法や十六進法は「二の累乗数進法」なので、2でしか割り切れない。つまり、1/31/5といった奇数分割ができない。2と3で割り切れるN進法では、十二進法の外に六進法の是非長短についても議論されている[15]

Unicode 8.0 では、十二進法のための10 (Dozenal gb 10.svg = U+218A, 180度回転した2)と 11(Dozenal gb 11.svg = U+218B, 180度回転した3)の2つの数字が符号位置を与えられた[16]。この2つの数字はアイザック・ピットマンの考案による。

脚注[編集]

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  1. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Janji”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=jni 2008年3月15日閲覧。 
  2. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gbiri-Niragu”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=grh 2008年3月15日閲覧。 
  3. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gwandara”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=gwn 2008年3月15日閲覧。 
  4. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Piti”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=pcn 2008年3月15日閲覧。 
  5. ^ a b Matsushita, Shuji (1998), “Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration”, 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo, オリジナルの2008年10月5日時点によるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20081005230737/http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html 2007年12月16日閲覧。 
  6. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Chepang”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=cdm 2008年3月15日閲覧。 
  7. ^ Mazaudon, Martine (2002), “Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes”, in François, Jacques, La Pluralité, Leuven: Peeters, pp. 91-119, ISBN 9042912952, http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/16/68/91/PDF/numerationTB_SLP.pdf 
  8. ^ 西川善朗 (2002), ヒマラヤの満月と十二進法, オリジナルの2008年3月29日時点によるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20080329150110/http://www.kankyok.co.jp/nue/nue11/nue11_01.html 2007年12月16日閲覧。 
  9. ^ Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, p. 48, ISBN 0-471-39340-1 
  10. ^ Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. pp. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8. http://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92. 
  11. ^ 日本の小説では広瀬正の『マイナス・ゼロ』に登場するタイムマシンが十二進法を使っていて、登場人物が、進んだ文明の産物であろうかと推測している。
  12. ^ Dozenal Society of America, http://www.dozenal.org/ 2007年12月16日閲覧。 
  13. ^ Dozenal Society of Great Britain, http://www.dozenalsociety.org.uk/ 2007年12月16日閲覧。 
  14. ^ 米国 Dozenal.org のFAQ 13頁に周角の144度への変更が掲載されている。
  15. ^ Dozensonline 六進法と「2p×3p」のN進法についての議論
  16. ^ Number Forms”. The Unicode Consortium (2015年6月17日). 2015年8月31日閲覧。

関連項目[編集]