十二進法

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十二進法(じゅうにしんほう)とは、12(てい)とし、底およびそのを基準にして数を表す方法である。

記数法[編集]

十二進記数法とは、12 を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字十進数とし、十二進記数法の表記は括弧および下付の 12 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。

一般には、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の 12 個の数字を用いる。A は 10 を、B は 11 を表す。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 12 倍になり、右に 1 桁ずれると 1/12 になる。(11)12 という表記において、左の「1」は十二を表し、右の「1」は一を表し、合わせて十三を表す。

同様に、十二進記数法では (50)1260 (5×121) を、(100)12144 (1×122) を、(1A6)12270 (1×122 + 10×121 + 6×120) を意味する。

小数[編集]

小数において十進数の 0.625 は十二進数では (0.76)12 となる。前者は 625/1000 (= 625/103 = 5/8) を、後者は 90/144 (= 90/122 = 5/8)を意味し、同値だからである。

57.6÷9 および (57.6)12 ÷ (9)12 の商は、以下の通りとなる。

十進数: 57.6 ÷ 9 = 6.4
十二進数: (57.6)12 ÷ (9)12 = (7.6)12

桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576 は 64×9 だが、(576)12 は 810、つまり 90×9 である。

命数法[編集]

十二進命数法とは、12 を底とする命数法である。

数詞[編集]

自然言語で十二進命数法の数詞を持つものは少ない。ナイジェリアのジャンジ語[1] (Janji)、ビリ・ニラグ語[2] (Gbiri-Niragu)、グワンダラ語ニンビア方言[3] (Nimbia)、ピティ語[4] (Piti) などが十二進命数法のグループを作り[5]、またネパールのチェパン語[6] (Chepang) も十二進命数法を用いている[7]

10 ではなく 12 が底になった理由として、片手の人さし指から小指の計 12 個の節を親指で示す数え方が示唆されている[8]

以下にグワンダラ語ニンビア方言の数詞を示す[5]

1 da
2 bi
3 ugu
4 furu
5 biyar
6 shide
7 bo'o
8 tager
9 tanran
10 gwom
11 kwada
12 tuni
13 tuni mbe da
24 gume bi
25 gume bi ni da
143 gume kwada ni kwada
144 wo


ゲルマン語派の数詞は 12 以下と 13 以上とで構成が異なる。以下に英語ドイツ語スウェーデン語の数詞を示す。

英語 ドイツ語 スウェーデン語
10 ten zehn tio
11 eleven elf elva
12 twelve zwölf tolv
13 thirteen dreizehn tretton
14 fourteen vierzehn fjorton

11, 12 の数詞の語源はそれぞれ 1 余り、2 余りを意味する *ainlif, *twalif であり、十二進法ではなく十進法に基づく数詞だが、13 以上と構成が異なるのを十二進法の影響とする説がある。

J・R・R・トールキン人工言語 Elvish の数詞は十二進法である。ロジバンは 10, 11, 12 に個別の数詞があり、十二進法に対応している(実際には十六進法にまで対応する)。

単位系[編集]

現在、十二進法は専ら単位系で使われている。数は十進記数法で 9, 10, 11 と表し、12 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる。

単位の十二進法は、言語の数詞とは無関係に発生したと考えられる。1 年がほぼ 12 かであること(360 ÷ 30 = 12。満月新月の回数がほぼ 12 回)に因むとされる。メソポタミア文明ではこれが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と同様に主に時間を示す際の基数となった。1 日 24 時間の 24 は 12 の 2 倍であり、六十進法60 は、12 と 30 の最小公倍数である。黄道十二宮はこれに基づく。また中国十二支も黄道十二宮と同じように、循環する十二進法である。

また 12 は 2×2×3 であり、約数が 1, 2, 3, 4, 6, 12 の 6 個と多く、分割に便利である点も十二進法の単位が用いられる一因となった。10 の約数は 1, 2, 5, 10 の 4 個である。

物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 122)、グレートグロス (1728 = 123)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。また、イギリスポンド1971 年まで 1 シリングが 12 ペンスであった。この他、ヤード・ポンド法において、1 フィートは 12 インチ、1 トロイポンドは 12 トロイオンスである。

十二進法の推進[編集]

英米では十二進法を採用するよう主張する少数の人々がいる[9][10]。人間の指の本数から派生した原始的な十進法より3分割4分割できる十二進法のほうが理にかなっているとされるためである。これらの人々は、十二進法を表す語として、英語で通常使われる duodecimal ではなく、dozenal を使う。数字は、10 を X で、11 を E で、あるいはその変形で表したり、10 を * で、11 を # で表したりする。SF作品でも、人類と異なる文明が十二進法を使っているとする設定はよく見られるものである[11]。なお、十進法以外の採用を進めようという主張は、近年ではコンピュータの二進法との相性から(3分割には向かないが)八進ないし十六進についても主張されている。

参考文献[編集]

  1. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Janji”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=jni 2008年3月15日閲覧。 
  2. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gbiri-Niragu”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=grh 2008年3月15日閲覧。 
  3. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gwandara”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=gwn 2008年3月15日閲覧。 
  4. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Piti”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=pcn 2008年3月15日閲覧。 
  5. ^ a b Matsushita, Shuji (1998), “Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration”, 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo, http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html 2007年12月16日閲覧。 
  6. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Chepang”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=cdm 2008年3月15日閲覧。 
  7. ^ Mazaudon, Martine (2002), “Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes”, in François, Jacques, La Pluralité, Leuven: Peeters, pp. 91-119, ISBN 9042912952, http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/16/68/91/PDF/numerationTB_SLP.pdf 
  8. ^ 西川善朗 (2002), ヒマラヤの満月と十二進法, http://www.kankyok.co.jp/nue/nue11/nue11_01.html 2007年12月16日閲覧。 
  9. ^ Dozenal Society of America, http://www.dozenal.org/ 2007年12月16日閲覧。 
  10. ^ Dozenal Society of Great Britain, http://www.dozenalsociety.org.uk/ 2007年12月16日閲覧。 
  11. ^ 日本の作品では『マイナス・ゼロ』に登場するタイムマシンが十二進法を使っていて、登場人物が、進んだ文明の産物であろうかと推測している。

関連項目[編集]