5の平方根

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5の平方根(ごのへいほうこん)は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のもののふたつがある。正の平方根は

\sqrt{5}

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

-\sqrt{5}

である。以下、正の平方根について記述する。

概要[編集]

オンライン整数列大辞典では十進記数法の小数点以下98桁まで表示されている[1]

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227...

この数の並びは規則性がない。すなわち、5の平方根は無理数であり、整数で表すことができない。語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く(ふじさんろくおうむなく)」などがある。

また、連分数で表記すると

\sqrt{5}=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}

となる。

なお、黄金比は、1と5の平方根との相加平均の1に対する比であり、

\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}

で表される。

また、フィボナッチ数列の一般項は、

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {{\phi^n - (1-\phi)^{-n}} \over \sqrt{5}}

で表される。

脚注[編集]

  1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A002163 2009年10月21日閲覧

関連項目[編集]

外部リンク[編集]