白銀比

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縦と横の長さの比が 1 : 2, 1 : (1 + 2) の長方形における性質。左上の頂点から右上がりの対角線に垂線を引き、その交点を第1交点とする。その垂線が下底に反射したときの直線と右上がりの対角線の交点を第2交点とする。
1 : 2 の場合は、第1交点と第2交点が縦横共に3等分できる位置にある。
1 : (1 + 2) の場合は、第2交点が、左下の頂点との距離が1で、左下の角の2等分線上にある。

白銀比(はくぎんひ)と呼ばれるものは以下の2つがあり、いずれも無理である。

  1. のこと。貴金属比の一つ(第2貴金属比)。
  2. のこと。b/2 : a = a : bを満たす比であることから、紙の寸法などに用いられている。

1 : (1+ 2) の白銀比[編集]

1 : (1+ 2) の白銀長方形
幾何学的に、正円とその中心を通る水平並びに傾き1の直線を利用すると、 図のように「1 : (1+ 2)」の白銀長方形を描ける。

1 : (1+ 2) の白銀比(はくぎんひ、英語: silver ratio / silver mean / silver constant)は、貴金属比の一つ(第2貴金属比)である[1]。近似値は 1 : 2.414 である。英語でsilver ratioなどと言った場合はこちらを指す。

線分a : b が白銀比であるとは、

が成り立つことを意味する。

白銀数[編集]

白銀比 1 : (1+ 2) に現れる右側の数 1+ 2白銀数(はくぎんすう、英語: silver number)という。しばしばギリシア文字τ(タウ)で表される[2]

白銀数 τ二次方程式 の正のであるから、

一方、このときの白銀比を のように定義することがある[2]。これは後述のもう一つの白銀比と一致している。

数学的性質[編集]

白銀数の連分数展開は

である。

白銀数 rs は有理数に 2の平方根を添加した代数体における代数的整数になっており、rs の共役数は

によって与えられる。任意の自然数 n について、 は有理整数になるが、 の絶対値が 1/2 より小さいため、この有理整数 に最も近い自然数を与えている。n → ∞ のとき 0 に収束するから、 における 無限遠点を唯一の集積点として持ち、特に の小数部分は均等に分布していないことが分かる。

一辺の長さが1の正八角形の対角線のうち、2番目に長い対角線の長さである。

三角関数で表すと、

等の表記ができる。

1 : 2 の白銀比[編集]

1 : 2 の白銀比長方形は正八角形によく現れる(赤枠)。
1 : 2 の白銀比の長方形の長辺を半分に折ってできる長方形は、折る前の長方形と相似であり、折る前と後の長方形について図のように引いた対角線は直交している。

の白銀比(はくぎんひ)は、1:1.414… で、約 5:7 である。紙の寸法などに用いられる。

これは先の第2貴金属比としての白銀比から、ちょうど1を引いた値となっている。

ギャラリー[編集]

白銀長方形と工業規格[編集]

一辺と他辺が 1 : (1+ 2) となる長方形白銀長方形英語: silver rectangle)と呼ぶ。また、1 : 2 の白銀比の長方形も白銀長方形と呼ばれる[2]ため注意が必要だが、こちらはルート長方形とも呼ぶ。以下、混同を防ぐため、1 : (1+ 2) の白銀比の長方形を「1 : (1+ 2) 白銀長方形」、1 : 2 の白銀比の長方形を「1 : 2 白銀長方形」とする。

ISO 216規格で定められる紙の寸法は 1 : 2 白銀長方形となっているが、このような長方形は、長辺の中点を結ぶ線分で折ると、出来た長方形は元の長方形と相似となる。例としてA4規格の紙を2分割して得られる長方形がA5規格である。

写真レンズの開口比(いわゆる絞り値、F値)の

1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, …

という系列のように、対象がパラメータの値の自乗で変化するようなものにも現れることがある。

1 : (1+ 2) 白銀長方形と 1 : 2 白銀長方形には相関性がある。1 : (1+ 2) 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は 1 : 2 白銀長方形となり、1 : 2 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は 1 : (1+ 2) 白銀長方形となる。

白銀比の作図[編集]

白銀比を作図するには 1 : 2 を作図すればよいが、これは正方形(作図可能)から容易に得られる。

美しさの指標への適用[編集]

数学理論における「黄金比」は、人の容姿の美しさの指標として美容業界でもよく用いられるが、黄金比に近い容貌コーカソイド(白人)に多く[3]、日本人を含むアジア人は黄金比とはかけ離れてることが多いため[4]、日本においてはアジア人に近い白銀比(別名「大和比」)を用いて美しさを論じる審美観が存在する[5][6][7]

脚注[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  • Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". MathWorld (英語).
  • Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).