ペル数

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ペル数(ぺるすう、Pell number)は自然数で、n番目のペル数を Pn とおいて以下の式で定義される数列にある項のことである。

ペル数を1から小さい順に列記すると

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …

ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。

n番目のペル数は

という式で表される。 であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn+1/Pn白銀数 に限りなく近付く。

行列では以下のように表現される。

ここから以下の恒等式が導かれる。

この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。

 の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は

 とだんだん√2の値に近付く。

ペル数の内累乗数は1と169のみである。

ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。

左辺は平方数、右辺は三角数を表している。

また以下の式で a2+b2=c2 を満たすピタゴラス数を表すこともできる。

関連項目[編集]